sábado, 31 de enero de 2015

Bosoneando responde: ¿Existen las gotas de agua idénticas?

Hace poco escribí un artículo con el título "Como dos gotas de agua" sobre la indistinguibilidad de las partículas. Una lectora del blog, +My my, me planteó la duda de si existían dos gotas de agua idénticas en su composición. Evidentemente, el título de la pregunta es una referencia a la frase hecha "parecerse como dos gotas de agua". Pero la pregunta es interesante, y voy a ver si puedo responderla más o menos:

viernes, 30 de enero de 2015

Como dos gotas de agua

En la vida cotidiana es bastante sencillo distinguir entre dos objetos, aunque parezcan muy similares: siempre habrá algún detalle, alguna imperfección, que los delate (como el bigote de Hernández y Fernández). Aunque no sea así, aún podemos marcar los objetos para hacerlos más identificables (poniendo etiquetas, pintando, haciendo marcación radiactiva...). En todo caso, una vez que se ha hecho la distinción entre los dos objetos por primera vez, con tan solo seguir sus trayectorias podemos identificarlos.

martes, 27 de enero de 2015

Más entrelazados que nunca


El entrelazamiento cuántico es un concepto fundamental en nuestro entendimiento actual de la física, así como la base para numerosas aplicaciones que ofrece(rá) la cuántica en el ámbito de la computación y la criptografía, por ejemplo. Por ello, una vez que ya hemos hecho las presentaciones en detalle con este amigo, vamos a ver más en detalle su tratamiento.

domingo, 25 de enero de 2015

Entrelazamiento sin límites


A pesar de que fue uno de los padres fundadores de la mecánica cuántica por su explicación del efecto fotoeléctrico, Einstein se opuso frontalmente a la nueva teoría y a la descripción probabilística de la naturaleza "Dios no juega a los dados con el universo". Son famosos los debates que mantenía con Bohr, en los que pretendía demostrar, sin éxito, la invalidez del principio de incertidumbre.
Pero su crítica más feroz contra la cuántica la realizó junto con su colega Boris Podolski y su asistente Nathan Rosen, por lo que se conoce como la paradoja EPR. Consideran una partícula con espín 0 que se descompone en dos partículas idénticas de espín 1/2, que salen en direcciones opuestas. Inicialmente, la orientación de sus espines está indeterminada. Un tiempo después, medimos el espín de una de las partículas, con lo que colapsa su función de onda y su orientación queda determinada. Pero debido a la conservación del momento angular (y por lo tanto, del espín), la otra partícula deberá adquirir la orientación opuesta del espín. De forma inmediata, independientemente de la distancia a la que se encuentren. Según Einstein, la cuántica decía que la primera partícula había transmitido información de su estado a la segunda, violando la relatividad generar, a través de una "fantasmal acción a distancia" (spukhafte Fernwirkung). La alternativa que ofrecían EPR era que la descripción cuántica era incompleta, y que el espín de las partículas ya estaba predeterminado desde su creación, constituyendo unas variables ocultas.

Schrödinger bautizó este fenómeno como entrelazamiento (Verschränkung), y declaró que "no era una sino la característica definitiva de la mecánica cuántica, la que nos fuerza al completo abandono de las líneas de pensamiento clásicas"

Resulta que la teoría de las variables y la mecánica cuántica realizan predicciones distintas, y por lo tanto se puede discernir experimentalmente entre ambas. La pista la dio Bell con su famosa desigualdad: Las correlaciones entre las medidas que se realizan sobre las mediciones del espín de las dos partículas en diferentes direcciones no pueden superar un cierto límite si proceden de variables ocultas de carácter local. Sin embargo, la mecánica cuántica predice un valor mayor que el límite impuesto por la desigualdad de Bell. La violación de la desigualdad de Bell ha sido comprobada experimentalmente con gran precisión, con lo cual parece ser que vivimos en un mundo cuántico, probabilista.
Resultados previstos por la desigualdad de Bell (rojo) y la cuántica (azul) en función del ángulo que forman los dos aparatos de medición empleados

Más rápido que la luz

¿Significa eso que se viola la causalidad? No, porque no hay forma de utilizar el entrelazamiento para transmitir información más rápido de la luz. Para ello, introduciremos a los sospechosos habituales de estos enredos: Alice y Bob. Alice y Bob se encuentran separados a una gran distancia, y cada uno de ellos recibe uno de las partículas entrelazadas. Alice tiene que comentarle una cosilla a Bob responderle sí o no a una pregunta que le hizo, de forma urgente. Suponemos, además, que ambos se han puesto de acuerdo previamente en el momento en que se producirá la comunicación (teniendo en cuenta la relatividad y todo eso). Así que intenta usar la misteriosa propiedad de sus partículas:
  • Primer intento: Alice mide el espín de su partícula en una dirección (digamos que en el eje z), y asocia a cada uno de los posibles resultados un valor sí/no. Bob, al realizar la misma medición, obtendrá el resultado opuesto. El problema es que la medición que hace Alice es probabilista, así que ella no puede saber si el valor que le va a enviar a Bob. Por lo tanto, tendría que hacer la asociación mensaje/espín después de la medición, y no puede contarle esta asociación a Bob a no ser que sea por un canal clásico: Aunque esto elimine la posibilidad de comunicación superlumínica, sí que permite la comunicación segura a través de un canal cuántico.
  • Segundo intento: Ahora Alice puede hacer mediciones del espín en dos direcciones ortogonales (ejes x, z). Si quiere enviar un sí usará la dirección x, y si quiere enviar un no, el eje z. Bob solo medirá en la dirección del eje z. Si recibe un no, tendrá un autoestado de su medidor, mientras que en caso contrario tendrá una superposición de los dos autoestados. Ahora las cosas pintan mejor, ¿no? Pues no, porque en caso de recibir una respuesta negativa, puede haber obtenido el espín orientado hacia arriba o hacia abajo, y si la respuesta era afirmativa, como es una superposición cualquiera de los resultados es posible. No tiene forma de distinguir, con una sola medición, las dos situaciones.
  • Tercer intento: El problema en la idea anterior es que no se puede hacer más de una medición del estado sin modificarlo irreversiblemente. Vamos a intentar evitarlo, haciendo "copias de seguridad" del mensaje recibido por Bob. Si la respuesta era negativa, al ser todas las copias autoestados del medidor de Bob, producirán siempre el mismo resultado. Por el contrario, si la respuesta de Alice era positiva, los estados copia son una superposición de autoestados, y al medirlos unas veces obtendrá un valor y otras veces el opuesto. Con un número suficientemente grande de copias, ambos comportamientosserán claramente distinguibles. Bob solamente necesita una máquina para copiar estados sin destruirlos. El problema es que esta actividad está prohibida por las leyes de protección de la propiedad intelectual... y por el teorema de no-clonado.

Todos los derechos reservados

El teorema de no-clonado establece que la mecánica cuántica no permite copiar de forma exacta el estado de una partícula a otra sin modificar la primera. Recordemos que los postulados de la mecánica cuántica nos permiten interaccionar con las partículas de dos maneras: o bien las dejamos evolucionar según un hamiltoniano (que ya nos encargaremos de preparar adecuadamente), o las medimos haciendo colapsar su función de onda. La segunda opción ya supone la modificación del molde para la clonación, por lo que la descartamos. Pongamos que tenemos el hamiltoniano que, dado un espín orientado en la dirección positiva del eje z (molde) y una partícula "virgen" (en el sentido de los deuvedeses y esas cosas) nos devuelva al molde en perfectas condiciones y a la otra partícula también orientada según la dirección z positiva. Y que si el molde está en la dirección z negativa, el proceso de clonado nos devuelve asimismo el molde y la copia en la dirección z negativa.
Hasta aquí, todo bien. Pero la cosa se pone complicada cuando en el molde tenemos una superposición de ambos estados. La ecuación de Schrödinger es lineal, por lo que la solución es una superposición de las soluciones anteriores. Esto significa que la mitad de las veces tenemos ambas partículas con el espín apuntando -simultáneamente- hacia arriba, y la otra mitad las dos -simultáneamente - apuntando hacia abajo. Pero esto es justamente lo contrario de lo que queríamos conseguir: en vez de dos partículas independientes con el mismo estado, hemos conseguido dos partículas cuyos estados están correlacionados, ¡las hemos entrelazado! 
En conclusión, no hay máquina que permita a Bob hacer copias de su partícula con las que discernir entre los mensajes que le puede mandar Alice. Las leyes de la cuántica SIEMPRE se confabulan en contra del pobre Bob. Ya nunca sabrá si Alice le quiere o no.

Para saber más...

Pedro Gómez Esteban: Cuántica sin fórmulas - El entrelazamiento cuántico, El teorema de Bell. El tamiz.

sábado, 24 de enero de 2015

Matrices densidad


La mecánica cuántica acepta muchos formalismos matemáticos diferentes, pero equivalentes. Cada cual tiene sus ventajas  e inconvenientes, dependiendo del tipo de situación que se esté estudiando. La formulación que presenta esta entrada se debe a von Neumann, y permite tratar fácilmente estados que no pueden ser descritos por una única función de ondas.

jueves, 22 de enero de 2015

Sesión de spinning


¿Qúe es espín? - dices mientras clavas
 en mi espinor tu espinor \(|\uparrow\rangle\)
¿Qué es espín? ¿Y tú me lo preguntas?
Espín eres tú.




El espín es una propiedad fundamental de las partículas que no tiene un análogo en la mecánica clásica. Determina cómo reaccionan al estar sometida a un campo magnético, cómo se transforma bajo rotaciones o qué estados de múltiples partículas están permitidos.

lunes, 19 de enero de 2015

Dando bandazos

Un sólido es una colección de (idealmente infinitos) átomos que siguen un patrón que se repite regularmente tras una distancia \(a\) (parámetro de red) - vamos a considerar cristales unidimensionales. Para el caso tridimensional, todo es igual solo que con vectores-. Por lo tanto, el potencial que sufren los electrones por encontrarse en la red también presentará esa periodicidad \[U(x+R) = U(x) \qquad R =  n a \]

¡Que te la pique un pato!

Si el mundo no tuvo suficiente la semana pasada con el #lunesTetas, llega la venganza en forma de #lunesPollas. Y es que parece ser que no todo el mundo sabe cómo ir por la vida sin tomarse todo a la tremenda. El humor es una forma de crítica (y el mejor humor suele contener importantes dosis de autocrítica) propia de gente ingeniosa, incluso inteligente, capaz de defender sus opiniones con argumentos que van más allá del porque-yo-lo-digo-y-yo-soy-el-más-fuerte o el porque-yo-lo-digo-y-yo-soy-el-que-manda. En esta vida todo -ojo, he dicho TODO- es opinable, y por ello no debería haber límites al humor (ya sé que estas semanas esto se ha convertido casi en un cliché, pero no por ello deja de ser cierto). Y una vez acabada la soflama, adelante con el humor.

domingo, 18 de enero de 2015

Cuántica relativistic-friendly

Nuestro punto de partida para enunciar la mecánica cuántica fue realizar sumas del propagador de Feynman sobre todas las trayectorias posibles, o bien sustituir en la relación de dispersión las posiciones y momentos por operadores. Se puede ver que ninguna de las dos opciones, tal cual están formuladas, cumple con los requisitos de la relatividad especial: la integral de camino incluye la contribución de trayectorias superlumínicas, mientras que la ecuación de Schrödinger discrimina espacio y tiempo: aparecen derivadas primeras respecto del tiempo y derivadas segundas respecto de la posición. Como tanto la relatividad como la cuántica tienen tras de sí un importante respaldo experimental, hay que encontrar una solución a este problema.

sábado, 17 de enero de 2015

¿Damos una vuelta?

Voy a correr el riesgo de parecer pesao, pero voy a volver a hablar de lo supergeniales que son las simetrías. Las simetrías hacen nuestra descripción del mundo más sencilla, más eficiente, más elegante. Además, también nos permiten predecir algunas propiedades de los sistemas físicos, como la existencia de magnitudes conservadas (¡gracias, Emmy!) o las secciones eficaces de distintos procesos.

lunes, 12 de enero de 2015

Fourier y sus senos

Hoy es #lunesTetas, así que supongo que ya sabréis lo que toca hablar, ¿no? Efectivamente, de esas curvas tan sensuales, siempre bamboleándose, pa'rriba y pa'bajo, pa'rriba y pa'bajo. Lo habéis adivinado: hoy toca senos

jueves, 8 de enero de 2015

Fibrillas transparentes

Cuando la luz cambia de medio de propagación, parte de su energía vuelve al primer medio (reflexión) y otra parte se transmite (refracción). El ángulo con el que sale el rayo refractado depende del ángulo de incidencia y de los índices de refracción de ambos medios, y está dado por la ley de Snell \[n_i \sin\theta_i = n_r \sin \theta_r\]

Si se pasa de un medio a otro con mayor índice (por ejemplo, de aire a vidrio), el rayo se aproxima a la normal de la superficie. Por el contrario, al pasar a un medio con menor índice, el rayo se aleja de la normal. Hay un límite de lo que se puede alejar, y es que el rayo refractado salga en la dirección de separación de los dos medios \(\theta_r = \pi/2\). El ángulo de incidencia que verifica tal situación es el ángulo límite \[\sin \theta_L= \frac{n_r}{n_i}\]
Al aumentar el ángulo de incidencia por encima del ángulo límite, toda la energía de la luz vuelve al medio original, y se produce reflexión total.

miércoles, 7 de enero de 2015

Cuantos osciladores

"La carrera de un joven físico teórico consiste en tratar el oscilador armónico en sucesivos grados de abstracción" - Sidney Coleman

El oscilador armónico es uno de los sistemas más simples que se pueden encontrar en física. Sin embargo, es prácticamente omnipresente, desde un simple muelle hasta las más avanzadas teorías cuánticas de campos. La razón de esto es que cualquier partícula, en las proximidades de un mínimo de energía, sufre un potencial de tipo armónico:
\[V(x) \approx V(x_0) + \frac{\partial V}{\partial x}\big|_{x=x_0} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\big|_{x=x_0} x^2 + ... \equiv \frac{1}{2} k x^2 \] (el término constante \(V(x_0)\), como ya vimos, es irrelevante, y la primera derivada se anula porque hay un mínimo en \(x=x_0\)).

El movimiento de una partícula clásica sometida a este potencial es muy sencillo. Vamos a obtenerlo usando el formalismo lagrangiano:\[L = T-V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2\]
\[\frac{\partial}{\partial t}\frac{d L}{d\dot{x}} = m \ddot{x} = \frac{d L}{d x} = -k x\]\[x(t) = A \cos \sqrt{\frac{k}{m}}t + B\sin \sqrt{\frac{k}{m}} t\]

La partícula describe un movimiento periódico de frecuencia [angular] \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), de modo que \(x(t_0 + 2\pi/\omega) = x(t_0)\).

lunes, 5 de enero de 2015

Cerebros de silicio

Brain Art, por Ars Electronica

El cerebro es un órgano ciertamente complejo y fascinante. Está formado por millones de neuronas interconectadas por sinapsis. Cada neurona puede establecer sinapsis con miles de compañeras, y los vínculos se pueden reforzar o debilitar en función de su actividad (plasticidad sináptica).
Aún no somos capaces de crear análogos artificiales o simulaciones que reproduzcan el funcionamiento del cerebro. Sin embargo, últimamente se están produciendo avances en esa dirección. ¿Y para qué queremos un cerebro artificial? En primer lugar, para tener un banco de pruebas para investigar las enfermedades que afectan al cerebro. Además, el inmenso reto que supone conlleva inevitablemente la invención de nuevos paradigmas electrónicos, que al igual que lo hiciera el transistor, supondrán una revolución en nuestras vidas cotidianas.

sábado, 3 de enero de 2015

El año 2015 en física

El 2015 ha sido designado por la ONU como el año internacional de la luz y las tecnologías basadas en la luz con motivo del 150 aniversario de las ecuaciones de Maxwell, el 200 aniversario de la teoría ondulatoria de Fresnel y los 1000 años de la óptica de Alhacén. Su objetivo es "poner en relieve a los ciudadanos del mundo la impoertancia de la luz y de las tecnologías ópticas en sus vidas, para su futuro y para el desarrollo de la sociedad". Para ello se organizarán conferencias y actividades a lo largo del mundo. Desde este blog también queremos aportar nuestro granito de arena a esta iniciativa, por lo que iremos publicando entradas sobre el tema (recuerda que también puedes consultar entradas antiguas relacionadas, como la que dedicamos a los diodos LED).

 La cosmología también está de enhorabuena en 2015, ya que se conmemora el quincuagésimo aniversario del descubrimiento del fondo de radiación cósmica de microondas por parte de Penzias y Wilson, y el centésimo aniversario de la elaboración de la teoría de la relatividad general de Einstein.

Pero el 2015 también nos traerá novedades. En mayo, tras un merecido descanso, el CERN volverá a poner en funcionamiento su gran colisionador de hadrones. Y lo hará con energías de \(\sqrt{s}\)=13 TeV, mayores que las que hicieron posible el descubrimiento del bosón de Higgs en 2012 (\(\sqrt{s}\) = 8 TeV). Y la misión Planck publicará nuevos datos sobre la polarización del fondo de microondas, que aclararán (o crearán más confusión, quién sabe) la situación de la existencia de modos-B primordiales detectados por BICEP2.

Solamente hay una cosa segura, y es que lo más emocionante está aún por descubrir. 
¡Por un 2015 lleno de física!

Para más información:

Jugando en grupo: SU(2)

En la entrada anterior vimos el grupo de matrices U(1). Como grupo, está bien, pero es un poco soso. Queremos más acción, y para conseguirlo, qué mejor que aumentar la dimensión de las matrices. Vamos a ir poco a poco, así que de momento nos vamos a quedar con las matrices 2x2. Y para que las cosas no se nos vayan de las manos, vamos a imponer una nueva restricción: las matrices van a tener determinante igual a 1. A este grupo le vamos a llamar grupo eSpecial Unitario, SU(2):
\[SU(2) =\{ M(2x2) | M^\dagger M = I, \det M = 1\}\]

viernes, 2 de enero de 2015

The Gauge and the Furious (A todo Gauge)

Vamos a empezar con una pregunta fácil. ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de un objeto de 1kg situado sobre una mesa de 1m de alto?
- 9.8J, porque \(E = m g h = 1\textrm{kg} \cdot 9.8 \textrm{m/s}^2 \cdot 1\textrm{m} = 9.8\textrm{J}\).
- No, es 0J, porque yo mido la altura desde la mesa.
- Pero, ¿a qué altura sobre el nivel de mar estamos? Porque no es lo mismo si estamos en la playa o en el Himalaya...
- Tonterías, teniendo en cuenta que la Tierra es una esfera con un radio de 6370km y 6·1024 kg, la energía potencial es \(E = -G\frac{Mm}{R+h} = -6.31\cdot 10^{7} \textrm{J}\)