martes, 27 de enero de 2015

Más entrelazados que nunca


El entrelazamiento cuántico es un concepto fundamental en nuestro entendimiento actual de la física, así como la base para numerosas aplicaciones que ofrece(rá) la cuántica en el ámbito de la computación y la criptografía, por ejemplo. Por ello, una vez que ya hemos hecho las presentaciones en detalle con este amigo, vamos a ver más en detalle su tratamiento.


Producto tensorial

En primer lugar tenemos que descubrir el modo de tratar sistemas con múltiples partículas en el mundillo cuántico. Sabemos que para una sola partícula el estado está caracterizado por un vector de un espacio vectorial (espacio de Hilbert), y que lo podemos expresar en términos de una base de vectores. Para no extendernos, vamos a considerar el caso del espín de un electrón, con lo cual la base solo tiene dos elementos, \(|+\rangle, |-\rangle\).
Si tenemos dos partículas en vez de una, podemos tenerlas con los dos espines hacia arriba, los dos espines hacia abajo, o uno hacia arriba y otro hacia abajo (o superposiciones de estas posibilidades). Tomaremos estos cuatro estados como la base del espacio para las dos partículas. ¿Cómo los representamos? Muy fácil, simplemente "arrejuntando" los estados de las dos partículas (técnicamente, esto se llama producto tensorial de los estados):\[|+\rangle \otimes |+\rangle = |++\rangle \quad |+\rangle\otimes|-\rangle = |+-\rangle \quad |-\rangle\otimes |+\rangle = |-+\rangle\quad |-\rangle \otimes |-\rangle = |--\rangle\]Pero no solamente podemos "arrejuntar" elementos de la base. Dos vectores cualesquiera se pueden "arrejuntar" si admitimos que el "arrejuntamiento" sigue la ley distributiva usual del producto: \[(a_1|+\rangle + b_1|-\rangle)\otimes(a_2 |+\rangle + |-\rangle) = a_1 a_2 |++\rangle + a_1 b_2 |+-\rangle+b_1 a_2 |-+\rangle + a_2b_2 |--\rangle\]¿Todos los vectores del espacio de dos partículas son el resultado del "arrejuntamiento" fraternal de estados de una partícula? Veámoslo con un ejemplo, el estado \(|\varphi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle - |-+\rangle)\):
\[\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle - |-+\rangle) = (a_1|+\rangle + b_1|-\rangle)\otimes(a_2 |+\rangle + |-\rangle) =\]\[ a_1 a_2 |++\rangle + a_1 b_2 |+-\rangle+b_1 a_2 |-+\rangle + a_2b_2 |--\rangle \]\[a_1 a_2 = 0 \quad b_1 b_2 = 0 \quad a_1 b_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad b_1 a_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}\] De las primera condición se deduce que o \(a_1\) o \(a_2\) son nulos, pero ninguna de las dos opciones son compatibles con las dos últimas condiciones: entre ambas partículas ha aparecido algo que no nos permite describirlas como simplemente dos partículas "arrejuntadas", y es que el roce ha hecho el cariño, y entre ellas ha surgido algo nuevo, una correlación entre sus estados: ¡están entrelazadas! (recuerda que este estado precisamente es el que se utiliza en la paradoja EPR).

En general, un estado se dice que es separable si se puede escribir como el producto tensorial de dos estados de una partícula, y entrelazado en caso contrario. Como ves, el entrelazamiento no es más que la "falta de individualidad, de independencia" de las dos partículas.


Midiendo el entrelazamiento

No solo de funciones de onda vive el hombre. Vamos a ver cómo se describe el entrelazamiento con las matrices densidad. Este método nos permitirá conocer no solo si las partículas están entrelazadas o no, sino cuánto lo están.

Empecemos con un estado separable, \(|\varphi\rangle = |+\rangle \otimes |-\rangle\). Su matriz densidad será: \[\rho = |\varphi\rangle\langle\varphi| = (|+\rangle \otimes |-\rangle)(\langle +|\otimes \langle -|) = (|+\rangle\langle +)\otimes(|-\rangle\langle -|)\]
Para recuperar la matriz densidad de una de las dos partículas, tenemos que realizar una operación llamada traza parcial sobre los estados de la otra partícula:\[\rho_1 = \textrm{tr}_2 \rho = \langle +_2| \rho |+_2\rangle + \rangle -_2| \rho |-_2\rangle = |+\rangle \langle +| \]La matriz densidad resultante nos queda, como era de esperar, la de un estado puro.

¿Qué ocurre con un estado entrelazado? Hagamos la prueba con nuestro viejo compañero, el estado de EPR:\[\rho = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle - |-+\rangle) \frac{1}{\sqrt{2}}(\langle +-|-\langle -+|) =\]\[= \frac{1}{2}(|+-\rangle\langle +-| - |+-\rangle\langle -+| - |-+\rangle\langle +-| + |-+\rangle\langle -+| )\] Si ahora calculamos la matriz densidad de una sola de las partículas obtenemos: \[\rho_1 = \textrm{tr}_2 \rho = \langle +_2| \rho |+_2\rangle + \langle -_2|\rho|-_2\rangle = \frac{1}{2} |+\rangle\langle +| + \frac{1}{2} |-\rangle\langle -|\] ¿Qué ha ocurrido aquí? El resultado obtenido no es un estado puro, de hecho es un estado con mezcla máxima. Aunque dos partículas entrelazadas se puedan describir como un estado puro, para cada partícula individualmente no hay más remedio que tratarlas como estados mezcla.

Esto nos ofrece un mecanismo para cuantificar el entrelazamiento, igual que podíamos cuantificar la pureza de los estados mezcla. Para ello emplearemos la entropía de entrelazamiento: \[S = -\textrm{tr}_1 (\rho_1 \log \rho_1) = -\textrm{tr}_2 (\rho_2 \log \rho_2)\] En cuántica ocurre un hecho remarcable: la entropía de un subsistema puede ser mayor que la del sistema completo. Esto es, el conocimiento completo del sistema no implica el conocimiento de sus componentes.