viernes, 30 de enero de 2015

Como dos gotas de agua

En la vida cotidiana es bastante sencillo distinguir entre dos objetos, aunque parezcan muy similares: siempre habrá algún detalle, alguna imperfección, que los delate (como el bigote de Hernández y Fernández). Aunque no sea así, aún podemos marcar los objetos para hacerlos más identificables (poniendo etiquetas, pintando, haciendo marcación radiactiva...). En todo caso, una vez que se ha hecho la distinción entre los dos objetos por primera vez, con tan solo seguir sus trayectorias podemos identificarlos.
Una vez más, la cuántica nos pone en apuros. Cuando hablamos, por ejemplo, de un electrón, estamos pensando en una partícula con cierta masa, carga eléctrica y [módulo del] espín, que tienen siempre el mismo valor, sin posibilidad de modificacción. Tampoco hay forma de marcarlos sin afectar a su dinámica. Y por supuesto, de seguir su trayectoria nada de nada, que en cuántica el concepto de trayectoria está totalmente extinto. Dos electrones cualesquiera son perfectamente indistinguibles.

De hecho, la cuántica incluye como postulado que dos partículas de la misma especie son completamente indistinguibles.

Ya sabemos cómo sería el espacio de Hilbert correspondiente a dos partículas distintas, empleando el producto tensorial de los estados. Veremos que en el caso de partículas idénticas este espacio se nos hace muy grande, y que nos limitaremos a dos subespacios más pequeños, el simétrico y el antisimétrico. Para ello utilizaremos el operador de intercambio, \(P\), que como su propio nombre indica, se dedica a intercambiar los estados de las dos partículas: \[P |u\rangle\otimes |v\rangle = |v\rangle\otimes|u\rangle\]Obviamente, al hacerlo actuar dos veces volvemos al estado de partida \(P^2 = I\). Esto nos permite calcular sus autovalores:\[P |u\rangle\otimes|v\rangle = \lambda |u\rangle\otimes|v\rangle  \qquad P^2 |u\rangle\otimes|v\rangle = \lambda^2 |u\rangle\otimes|v\rangle = |u\rangle\otimes|v\rangle \qquad \lambda = \pm 1  \]
Obviamente, si no hay ningún medio para distinguir entre las partículas, cualquier observable \(A\) que opere sobre ellas deberá ser invariante bajo el intercambio de ambas partículas:\[[A,P]=0\]Esta simetría de intercambio significa que las funciones de onda aceptables deben ser autoestados del operador de intercambio, y los autovalores se conservarán en cualquier circunstancia:

  • A los estados con autovalor \(\lambda = +1\) los llamaremos bosones, y el subespacio que forman es el simétrico. Los estados de las partículas bosónicas son de la forma \[|\psi_B\rangle = |u\rangle\otimes |v\rangle + |v\rangle \otimes |u\rangle\] ya que \[P |\psi_B\rangle = P |u\rangle\otimes |v\rangle + P|v\rangle\otimes|u\rangle = |v\rangle\otimes|u\rangle + |u\rangle\otimes|v\rangle = |\psi_B\rangle\]
  • A los estados con autovalor \(\lambda = -1\) los llamaremos fermiones, y el subespacio que forman es el antisimétrico. Los estados de las partículas fermiónicas son de la forma \[|\psi_F\rangle = |u\rangle\otimes |v\rangle - |v\rangle \otimes |u\rangle\] ya que \[P |\psi_F\rangle = P |u\rangle\otimes |v\rangle - P|v\rangle\otimes|u\rangle = |v\rangle\otimes|u\rangle - |u\rangle\otimes|v\rangle = -|\psi_F\rangle\]

Tu partícula es mi lío de cosas

¿Quién determina si una partícula es un bosón o un fermión? Inicialmente, se observó que las partículas que poseían carácter bosónico siempre tenían espín entero, mientras que las fermiónicas tenían espín semientero: esto condujo a la formulación del teorema espín-estadística, que precisamente establece la conexión entre el espín y su comportamiento frente al intercambio. Posteriormente, este teorema se pudo demostrar en el ámbito de la teoría cuántica de campos.

El espín (su magnitud) es una propiedad intrínseca, definitoria e inalterable de toda partícula elemental. De las partículas elementales que conocemos actualmente, los quarks, los neutrinos, el electrón y sus "primos" el muón y el tauón son fermiones (todos ellos con espín 1/2). Son bosones los fotones, los gluones y las partículas W y Z (con espín 1), y por supuesto, la celebrity de las partículas, el bosón de Higgs (de espín 0).

Observarás que en el párrafo anterior he sido muy precavido y he hablado de las partículas elementales que conocemos actualmente. Y es que el concepto de partícula depende mucho de la escala de distancia/energía que se esté empleando. A la hora de la verdad, muchas veces el protón y el neutrón se pueden tratar como si fueran pertículas simples, aunque sepamos que están compuestas por tres quarks. Aún más, si estudiamos el comportamiento de sistemas mayores, podríamos olvidarnos de la estructura interna del núcleo y tratarlo como una entidad per se. ¿Cómo aplicar el teorema espín-estadística en estos casos?

Anteriormente ya aprendimos cómo combinar dos representaciones de SU(2) para dar una nueva. Recuerda que el espín, desde el punto de vista matemático, no es más que un grupo SU(2). Así pues, al combinar dos espines \(S_1\) y \(S_2\), se pueden obtener los resultados \[S = S_1 \otimes S_2 = (S_1 + S_2) \oplus (S_1 + S_2 - 1)\oplus (S_1 + S_2 - 2)\oplus\cdots\oplus|S_1 - S_2|\]Para calcular el espín total de un sistema, hay que combinar de este modo los espines de todas las partículas constituyentes y los momentos angulares relativos (el momento angular siempre es un entero). El espín total es semientero si hay un número impar de fermiones, y entero en caso contrario. Así, los protones y neutrones son fermiones, mientras que las partículas alfa son bosones.


Tú a Boston y yo a Calisto

Según lo que hemos visto, todos los electrones son idénticos entre sí, y la función de onda debe ser antisimétrica al intercambiar dos de ellos cualesquiera. Pudiera parecer que para operar correctamente habría que tener en cuenta en la función de onda a TODOS los electrones: sí, los del experimento, los del experimentador, los de la vecina de enfrente, los de Calisto (el satélite de Júpiter, no el pretendiente de Melibea) e incluso los de una galaxia al otro extremo del universo observable. Esto, como es lógico suponer, conlleva grandes dificultades.

Las funciones de onda para una partícula suelen tener cierta localización espacial: la probabilidad de encontrarla es nula excepto en una pequeña región del espacio. Si dos partículas no interaccionan entre sí, y sus funciones de onda están localizadas en regiones apartadas. Por lo tanto, apenas se solapan \(\langle u| v\rangle \approx 0\), y realmente no hay efectos debidos a la simetría de intercambio. Solamente se manifiesta la indistinguibilidad de las partículas cuando estas están más próximas que la anchura de sus funciones de onda: dos electrones del mismo átomo la sufren, pero no dos electrones situados en las antípodas.

De cómo un signo menos construyó nuestro mundo

Ahora vamos a preocuparnos por si este signo de diferencia entre bosones y fermiones tiene alguna trascendencia. Spoiler: Sí, y de forma muy significativa.

En los ejemplos anteriores hemos supuesto que las dos partículas indistinguibles están en dos estados distintos. ¿Qué ocurriría en el caso de que los estados fueran iguales?. En el caso de los bosones (obviando la normalización):\[|\psi_B\rangle = |u\rangle\otimes|u\rangle + |u\rangle\otimes|u\rangle \sim |u\rangle\otimes|u\rangle\]Es decir, simplemente juntando las funciones de onda de partículas simples obtenmos una función simétrica, que es aceptable para los bosones. Así que dos (o muchos) bosones pueden estar en el mismo estado. Y no solo eso, sino que esta situación "les gusta", son sociables por naturaleza: esto permite, por ejemplo, el funcionamiento del láser, donde los fotones comparten el mismo estado, y por ello la luz es coherente. En un sistema de bosones cerca del cero absoluto, todas las partículas bajan al nivel de mínima energía, constituyendo un condensado de Bose-Einstein.

¿Y los fermiones? Pues esto es lo que les ocurre:\[|\psi_F\rangle = |u\rangle|u\rangle - |u\rangle|u\rangle = 0\]Como ves, la función de ondas se anula: es imposible tener a dos fermiones con el mismo estado. Los fermiones tienen "aversión" por la compañía, son asociales. Este es el contenido del principio de exclusión de Pauli. Algunas consecuencias del principio de exclusión:
  • Impenetrabilidad de la materia: A pesar de que los átomos están básicamente vacíos, las cortezas electrónicas de dos átomos no pueden solaparse debido al principio de exclusión entre los electrones.
  • Química: de no existir el principio de exclusión, los electrones de los átomos estarían todos en el nivel fundamental para tener la mínima energía. Por el contrario, el principio de exclusión les fuerza a estar en niveles más energéticos. Para conseguir reducir su energía, los átomos recurren a formar enlaces químicos entre ellos.
  • Estrellas compactas: En las estrellas de masa moderada, una vez que agotan todo su combustible nuclear, el colapso gravitatorio es compensado por el principio de exclusión: en las más pequeñas por los electrones (enanas blancas), y en las de mayor tamaño por protones y neutrones (enanas de neutrones).
Foto de Sirio A y Sirio B (flecha) tomada por el telescopio Hubble. Sirio B es una enana blanca

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