sábado, 31 de enero de 2015

Bosoneando responde: ¿Existen las gotas de agua idénticas?

Hace poco escribí un artículo con el título "Como dos gotas de agua" sobre la indistinguibilidad de las partículas. Una lectora del blog, +My my, me planteó la duda de si existían dos gotas de agua idénticas en su composición. Evidentemente, el título de la pregunta es una referencia a la frase hecha "parecerse como dos gotas de agua". Pero la pregunta es interesante, y voy a ver si puedo responderla más o menos:

Mecanismo de ruptura de gotas de gran tamaño (tomado del paper de Vollmer y Möllmann)

Lo primero que hay que conocer es el tamaño que pueden tener las gotas. Afortunadamente, Vollmer y Möllmann nos lo responden en su artículo "Is There a Maximum Size of Water Drops in Nature?" (http://dx.doi.org/10.1119/1.4820848). Según nos cuentan, las gotas de gran tamaño son inestables debido a la ruptura aerodinámica, que depende entre otros factores de la gravedad (por eso, habrás visto que en situaciones de ingravidez, los astronautas pueden jugar con "gotas" de líquido de gran tamaño y de forma esférica). De vuelta en la Tierra, los autores dicen que el máximo tamaño posible es de 10 mm (en condiciones de laboratorio), mientras que en una lluvia suelen tener 1mm (volumen de unos 4 mm3), llegando como máximo a 5 mm en lluvias tropicales. La distribución de tamaños la puedes encontrar, por ejemplo, en Jayawardena y Rezaur: "Measuring drop size distribution and kinetic energy of rainfall using a force transducer" (Hydrological Processes. 14(6): 1069-1082.). Las mediciones fueron realizadas en Hong Kong, pero supongo que son extrapolables a otros lugares.

En el artículo se puede encontrar una función de distribución para el diámetro de las gotas en un determinado volumen de aire \[N(d) = N_0 e^{-d \phi}\] El valor de \(N_0\) es una constante (\(N_0\) = 8000 mm-1 m-3), y \(\phi\) depende de la intensidad de la lluvia: para una intensidad típica de una lluvia moderada de unos 10 mm/h, obtendríamos \(\phi\) = 2.5 mm-1. El número de gotas con diámetros comprendidos entre \(d\) y \(d + \delta d\) registrados en una superficie \(A\) y un tiempo \(T\) está dado por: \[n = v A T \delta d N_0 e^{-d\phi}\] Donde \(v\) es la velocidad terminal de las gotas en caída, que para gotas de \(d\)= 1 mm es de \(v\) = 5m/s. La caída de dos gotas son sucesos independientes, por lo que siguen bien una distribución de Poisson (que es la que se utiliza, entre otras muchas cosas, para las desintegraciones radiactivas). Según esta distribución, la probabilidad de encontrar dos gotas en el rango de diámetros es \[p = \frac{1}{2} n^2 e^{-n}\]

La cuestión es estimar el tamaño del intervalo de diámetros \(\delta d\) que vamos a emplear. Supondremos las gotas aproximadamente esféricas \[V = \frac{4}{3}\pi (d/2)^3 = \frac{\pi}{6} d^3\]La masa de la gota la podemos calcular a partir de su densidad \(\rho\) o del número de moléculas de agua \(N\) \[m = \rho V = N m_{H2O}\]\[N = \frac{\rho V}{m_{H2O}} = \frac{\rho \pi d^3}{6 m_{H2O}}\]Ahora realizamos una variación en el número de moléculas: obviamente la mínima variación que se puede hacer es \(\delta N=1\):\[1 = \delta N = \frac{\rho \pi d^2}{2 m_{H2O}}\delta d \]\[\delta d = \frac{2 m_{H2O}}{\pi d^2 \rho} = 2\cdot 10^{-23}\textrm{m}\]Esta variación es realmente pequeña, ¡muchos órdenes de magnitud menor que el radio de un núcleo atómico! A pesar de ello, vamos a suponer que todas las fórmulas usadas anteriormente siguen siendo válidas.

Imaginemos que está lloviendo durante un día completo en toda España. Introduciendo los datos correspondientes y haciendo los cálculos indicados, se obtiene que el número medio de gotas que no se diferencian en el número de moléculas de agua es de \(n = 2.8\), y que la probabilidad de que existan dos gotas iguales es de cerca del 25%. Así que parece bastante razonable suponer que, a lo largo de la historia, han existido no solamente dos, sino muchísimas gotas idénticas.

Hasta aquí hemos supuesto que las gotas están formadas por agua pura. Pero por supuesto, las gotas de agua llevan mucho más que agua: sodio, cloro, sulfatos, y un largo etcétera. Además, hay que tener en cuenta la distinta composición isotópica de las gotas, especialmente la presencia de 18O. Esto complica mucho las cosas, por lo que no resultaría de esperar encontrar dos gotas de agua idénticas en una misma tormenta. Pero no hay de qué preocuparse ¿o sí?, contamos con unos 4000 millones de años de lluvias: A unos 500000 km3 de precipitación al año, hacen del orden de 1033 gotas caídas. Son unas cuantas... Teniendo en cuenta que la concentración típica de sustancias extrañas es de unos 100 mg/l en total, tenemos del orden de 1016 partículas que no son moléculas de agua. Las combinaciones que se pueden formar con 1016 partículas si estas pueden ser de dos o más tipos son realmente astronómicas. Podríamos rizar el rizo y contar todos los exoplanetas que pueda haber en el universo en los que se den las condiciones para la formación de gotas de agua similares a las terrestres, pero eso me parece ya excesivo.

Así que, la próxima vez que oigas a alguien decir que "se parecen como dos gotas de agua", siéntete en tu derecho de replicar que no, que las gotas de agua no son idénticas. En su lugar, vamos a promover la frase "se parecen como dos electrones", que es físicamente correcta. :)

No sé si he respondido a la pregunta original, y si por el camino habéis aprendido algo nuevo. Desde luego, yo sí que lo he hecho. Ante todo, quiero utilizar este post como excusa para agradeceos a todos los lectores el apoyo que le estáis dando a este joven e inexperto blog. Si queréis que os responda a alguna pregunta curiosa y original sobre física (del estilo de las que podéis ver, por ejemplo, en What if?), estaré encantado, dentro de los límites que me imponen otras obligaciones, de hacer nuevas ediciones de Bosoneando responde. Solo tenéis que preguntar por comentarios al blog, twitter, google +, o correo electrónico, y si me gusta la pregunta os responderé.