En la entrada anterior vimos el grupo de matrices U(1). Como grupo, está bien, pero es un poco soso. Queremos más acción, y para conseguirlo, qué mejor que aumentar la dimensión de las matrices. Vamos a ir poco a poco, así que de momento nos vamos a quedar con las matrices 2x2. Y para que las cosas no se nos vayan de las manos, vamos a imponer una nueva restricción: las matrices van a tener determinante igual a 1. A este grupo le vamos a llamar grupo eSpecial Unitario, SU(2):
\[SU(2) =\{ M(2x2) | M^\dagger M = I, \det M = 1\}\]
Para meternos en faena, vamos a usar la relación \[\det e^{iH} = e^{i \textrm{tr}H}\]
Por lo tanto, cualquier matriz de SU(2) se puede expresar como la exponencial imaginaria de una matriz hermítica de traza nula \(H\)
\[H = \begin{pmatrix} \gamma & \alpha-i\beta\\ \alpha+i\beta & -\gamma\end{pmatrix}\]
El grupo unitario de dimensión dos tendría 4 grados de libertad, pero al introducir la restricción sobre el determinante, hemos perdido un grado de libertad. En geneneral, el grupo SU(N) tiene \(N^2-1\) grados de libertad.
Cualquier matriz de este tipo se puede escribir como la combinación lineal de tres matrices hermíticas de traza nula independientes. La elección habitual son las matrices de Pauli ¿por qué sale el nombre de un físico en un post sobre matemáticas?:
\[\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{pmatrix}\]
\[H = \alpha \sigma_x + \beta \sigma_y + \gamma \sigma_z\]
A diferencia de lo que ocurría en U(1), ahora el grupo no es abeliano. Esto lo podemos ver con los conmutadores \([A,B] = AB-BA\) de los generadores infinitesimales:
\[[\sigma_x, \sigma_y] = 2i \sigma_z \qquad [\sigma_y, \sigma_z] = 2i\sigma_x \qquad [\sigma_z, \sigma_x] = 2i \sigma_y\]
Estas expresiones constituyen el álgebra de Lie del grupo. De hecho, son suficientes para determinar todas sus propiedades.
De los tres generadores del grupo, uno de ellos, \(\sigma_z\), solo tiene elementos en la diagonal principal. En general, en SU(N) hay \(N-1\) generadores infinitesimales diagonales, este número es el rango del grupo. Vamos a representar los valores que aparecen en la diagonal en un esquema:
Nada espectacular, ¿verdad?
Un vector \(v\) es autovector de la matriz \(M\) si cumple que \(Mv = \alpha v\), con \(\alpha\) un número, llamado autovalor. Es fácil ver que \(\sigma_z\) tiene dos autovectores, llamados pesos:
\[|2,+1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\0\end{pmatrix} \qquad |2,-1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\1\end{pmatrix} \]
\[\sigma_z |2,+1\rangle = +1|2,+1\rangle \qquad \sigma_z |2,-1\rangle = -1|2,-1\rangle \]
Los otros generadores también tienen autovalores \(\pm 1\), pero los autovectores son distintos. A partir de estos generadore podemos construir la raíces del grupo:
\[\sigma_+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma_x + i \sigma_y)=\sqrt{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_- = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma_x - i \sigma_y)=\sqrt{2}\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\]
Si hacemos actuar estos operadores sobre los elementos de la base, ocurre lo siguiente:\[\sigma_+ |2, -1\rangle = \sqrt{2} |2, +1\rangle \qquad \qquad \sigma_+ |2, +1\rangle = 0\]\[\sigma_- |2, -1\rangle = 0 \qquad \sigma_-|2, +1\rangle = \sqrt{2}|2, -1\rangle \]
Es decir, que en el esquema anterior el operador \(\sigma_+\) va de un punto al que estáa su derecha, y el \(\sigma_-\) al que está a su izquierda. Si no existe ese punto, el resultado es nulo. Por ello, se les suele conocer como operadores escalera, ya que se usan para subir o bajar.
Con los generadores infinitesimales también se puede construir el operador de Casimir, que se caracteriza porque conmuta con todos los generadores:
\[\sigma^2 = (\sigma_x)^2 + (\sigma_y)^2 +(\sigma_z)^2 = 3 \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \]
Representaciones
Hemos dicho que el álgebra de Lie de los generadores infinitesimales es suficiente para determinar el grupo. Vamos a ver a dónde nos conduce esto.
Llamaremos representación a un conjunto de tres matrices hermíticas de traza nula - independientemente de su dimensión - que cumplan las relaciones de conmutación. La representación de las matrices de Pauli es la representación fundamental, o repr 2.
¿Es posible una representación en matrices de dimensión 1? Piénsalo un momento antes de seguir leyendo...
La respuesta es que sí, y las tres matrices son \(\sigma_x^{(1)} = 0\), \(\sigma_y^{(1)} = 0\), \(\sigma_z^{(1)} = 0\). ¿No es lo que esperabas? Esta representación existe para cualquier grupo SU(N), y se conoce como representación trivial o repr 1.
Para construir las representaciones de dimensión mayor, necesitamos usar el producto tensorial \(\otimes\). El producto tensorial de dos espacios vectoriales \(V\) y \(W\) consiste en el espacio vectorial que tiene como base los vectores de la forma \(v_i \otimes w_j\) (donde \(v_i\) y \(w_j\) son vectores de las bases de \(V\) y \(W\), respectivamente). \[|2,+1\rangle \otimes |2,+1\rangle = \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\\0\end{pmatrix} \qquad |2,+1\rangle\otimes |2,-1\rangle = \begin{pmatrix}0 \\1 \\0\\0\end{pmatrix} \]\[|2,-1\rangle\otimes |2,+1\rangle = \begin{pmatrix}0 \\0 \\1\\0\end{pmatrix}\qquad |2,-1\rangle\otimes |2,-1\rangle = \begin{pmatrix}0 \\0 \\0\\1\end{pmatrix} \]
Está claro que si los espacios vectoriales \(V\) y \(W\) tienen dimensiones \(N_v\) y \(N_w\), el espacio producto \(V\otimes W\) tiene dimensión \(N_v \cdot N_w\). Si tenemos un operador \(A\) en el espacio \(V\) y otro \(B\) en el \(W\), su producto tensorial es \[(A\otimes B)(v\otimes w) = (A v)\otimes (B w)\] y los elementos de su matriz están dados por \[(a\otimes b)_{i+N_v j, k+N_v l} = a_{i, k} b_{j, l}\]
Para seguir con nuestro juego, vamos a usar las siguientes matrices \[S_x = \sigma_x \otimes I + I \otimes \sigma_x \qquad S_y = \sigma_y \otimes I + I \otimes \sigma_y \qquad S_z = \sigma_z \otimes I + I \otimes \sigma_z\]
En concreto, vemos que \(S_z\) es diagonal:\[S_z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \otimes ; \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ;+ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \otimes ; \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ; =\]\[= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0
& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0
& 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]
El esquema en esta nueva representación lo podemos obtener a partir del esquema de repr 2, aprovechando el hecho de que los pesos son aditivos. Para ello, partiendo de una copia de repr 2, en cada uno de los puntos colocamos otro repr 2 con el 0 alineado con el punto. Así, tenemos un peso en +2, otro en -2, y dos en 0.
Sin embargo, el operador de Casimir no es diagonal: \[(S_x)^2 + (S_y)^2 + (S_z)^2 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8\end{pmatrix}\]
Para remediarlo, vamos a cambiar de base. Los vectores de la nueva base son:
\[|3, +2\rangle = |2, +1\rangle \otimes |2, +1\rangle \qquad |3, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|2, +1\rangle \otimes |2, -1\rangle + |2, -1\rangle \otimes |2, +1\rangle)\]
\[|3, -2\rangle = |2, -1\rangle \otimes |2, -1\rangle \qquad |1, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|2, +1\rangle \otimes |2, -1\rangle - |2, -1\rangle \otimes |2, +1\rangle) \]
En esta nueva base, todo los operadores tienen una curiosa forma: es diagonal por bloques, lo que significa que solo hay elementos no nulos en la submatriz superior 3x3 y en la inferior de 1x1
El bloque 1x1 corresponde a las matrices de la repr 1, ya conocidas. Por su parte, el bloque 3x3 es la repr 3. Esto se representa por 2 \(\otimes\) 2 = 1 \(\oplus\) 3. Las matrices son:\[\sigma_x^{(3)} = \sqrt{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y^{(3)} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z^{(3)} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
\[(\sigma^{(3)})^2 = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{pmatrix} \qquad \sigma_+^{(3)} = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_-^{(3)} = 2 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
La acción de los operadores escalera tiene el efecto deseado: \[\sigma_+^{(3)}|3, -1\rangle = 2 |3,0\rangle \qquad \sigma_+^{(3)}|3, 0\rangle = 2 |3,+1\rangle \qquad \sigma_+^{(3)}|3, +1\rangle = 0\]\[\sigma_-^{(3)}|3, -1\rangle = 0 \qquad \sigma_-^{(3)}|3, 0\rangle = 2 |3,-1\rangle \qquad \sigma_-^{(3)}|3, +1\rangle = 2|3,0\rangle\]
Siguiendo este procedimiento se puede construir cualquier representación de SU(2) (hay representaciones de todas las dimensiones posibles), aunque puede ser algo tedioso. Aquí está el esquema de 2 \(\otimes\) 3 = 2 \(\oplus\) 4:
Al combinar dos representaciones m \(\otimes\) n siempre se obtienen las representaciones \(\mathbf{m}+\mathbf{n}-1\), \(\mathbf{m}+\mathbf{n}-3\), \(\mathbf{m}+\mathbf{n}-5\),... \(|\mathbf{m}-\mathbf{n}|+1\). Los dos puntos de los extremos solo pertenecen a una de las representaciones, mientras que el resto serán una combinación lineal de varias representaciones. Por ello, será necesario hacer un cambio de base (afortunadamente, estos cambios de base están tabulados, se conocen como coeficientes de Clebsch-Gordan). El esquema de la repr m tiene \(m\) puntos, entre el \(-m+1\) y el \(m-1\), con una distancia entre dos puntos consecutivos de dos unidades. La acción del operador de Casimir sobre cualquier vector será multiplicarlo por \(m^2-1\).
Para saber más
Cristoph Lüdeling: Group Theory (for Physicist). Universidad de Bonn
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