viernes, 2 de enero de 2015

The Gauge and the Furious (A todo Gauge)

Vamos a empezar con una pregunta fácil. ¿Cuál es la energía potencial gravitatoria de un objeto de 1kg situado sobre una mesa de 1m de alto?
- 9.8J, porque \(E = m g h = 1\textrm{kg} \cdot 9.8 \textrm{m/s}^2 \cdot 1\textrm{m} = 9.8\textrm{J}\).
- No, es 0J, porque yo mido la altura desde la mesa.
- Pero, ¿a qué altura sobre el nivel de mar estamos? Porque no es lo mismo si estamos en la playa o en el Himalaya...
- Tonterías, teniendo en cuenta que la Tierra es una esfera con un radio de 6370km y 6·1024 kg, la energía potencial es \(E = -G\frac{Mm}{R+h} = -6.31\cdot 10^{7} \textrm{J}\)

Y la respuesta es... que todas las opciones son correctas. La energía potencial, como tal, no tiene ningún sentido físico. Lo único que tiene sentido son las diferencias de energía entre dos puntos, y cualquiera de los participantes al concurso anterior hubiera dado la misma respuesta. En nuestra descripción de la gravedad existe un grado de libertad, el origen de energías, que no tiene ninguna relevancia física. Este tipo de redundancias se llaman simetrías gauge (pronunciado como /geich/ o algo así. Reto a los defensores acérrimos del español, esos que se sacan autofotos en los partidos de balompié, a que me ofrezcan una traducción adecuada en este contexto)

Gauge en el electromagnetismo

Al igual que en la gravitación, el electromagnetismo también posee una simetría gauge. El caso más simple es el caso de campos eléctricos estáticos. El campo eléctrico está relacionado con el potencial electrostático según:
\[\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi = -\partial_x \phi \hat{x} -\partial_y \phi \hat{y} - \partial_z \phi \hat{z}\]
Si al potencial \(\phi\) le sumamos un término constante \(\phi' = \phi + C\), el campo eléctrico resultante es el mismo
\[\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi = -\vec{\nabla}\phi'\]

Para el campo magnético estático, también se puede definir un potencial, el potencial vector \(\vec{A}\):
\[\vec{B} = \vec{\nabla}\times\vec{A} = (\partial_y A_z - \partial_z A_y) \hat{x} + (\partial_z A_x - \partial_x A_z)\hat{y} + (\partial_x A_y - \partial_y A_x) \hat{z} \]
Para cualquier función (dos veces diferenciable) \(f\), el campo magnético es el mismo al hacer la transformación gauge 
\[\vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} f \qquad \qquad \vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A} = \vec{\nabla}\times\vec{A}'\]

Al tratar con campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo, hay que hacer la transformación gauge de los dos potenciales de forma conjunta (cuidado, vamos a usar unidades gaussianas para las magnitudes eléctricas):
\[\phi' = \phi - \frac{1}{c}\partial_t f \qquad \qquad \vec{A}'  = \vec{A} + \vec{\nabla} f \]\[\vec{E} = -\vec{\nabla}\phi -\frac{1}{c}\partial_t \vec{A} = -\vec{\nabla}\phi'- \frac{1}{c}\partial_t \vec{A}' \qquad\qquad  \vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A} = \vec{\nabla}\times\vec{A}' \]

Gauge en las funciones de onda

En el post sobre la ecuación de Schrödinger vimos que las funciones de onda son un instrumento intermedio para hacer cálculos en el mundo cuántico. Sin embargo, las cantidades relevantes a la hora de medir son siempre del tipo
\[\langle A \rangle = \int \psi^\star A \psi dx\]
Por lo tanto, si tomamos una función de onda dada por \(\psi' = e^{i\theta} \psi\), el resultado obtenido es
\[\langle A \rangle ' = \int \psi^\star e^{-i\theta} A \psi e^{i\theta} d x = \int \psi^\star A \psi dx = \langle A \rangle \]
Así que las funciones de onda tienen una simetría gauge. Si has estado leyendo el blog últimamente, verás que es una simetría U(1).

Hay un pequeño detalle que hay que tener en cuenta: el factor que le hemos añadido a la función de onda, \(\theta\), tiene que ser una constante (no depende de la posición en el espacio ni en el tiempo). Este tipo de transformaciones se llaman simetrías gauge globales. Si \(\theta\) dependiera del espacio y el tiempo, como el operador \(A\) puede contener derivadas, el resultado variaría. Vamos a verlo más claramente en la ecuación de Schrödinger:
\[i\hbar \partial_t \psi' = (i\hbar \partial_t \psi )e^{i\theta} + (-\hbar \partial_t \theta)\psi e^{i\theta} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi' + V\psi' = \]\[ =\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi\right)e^{i\theta} - \frac{i\hbar^2}{m}(\vec{\nabla}\psi)\cdot(\vec{\nabla}\theta) e^{i\theta} + \frac{\hbar^2}{2m}(\nabla^2 \theta)\psi e^{i\theta} + V \psi e^{i\theta}\]
\[i\hbar \partial_t \psi' = \left(H - \hbar\partial_t \theta -i \frac{\hbar^2}{m}\vec{\nabla}\theta \cdot \vec{\nabla} - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi \right)\psi'\]
Así que, si la función original \(\psi\) cumplía la ecuación de Schrödinger, la nueva \(\psi'\) no lo hace.

Pero vamos a ser cabezotas, y a exigir que la simetría U(1) sea local. Porque sí. Para eso es mi blog, y hago lo que quiero con él. Para ello, en la ecuación de Schrödinger vamos a añadir unos términos, \(\phi\) y \(\vec{A}\), que también se transforman al hacer la transformación gauge local. La nueva ecuación es:
\[(i\hbar \partial_t - e\phi)\psi = (-i\hbar \vec{\nabla} + \frac{e}{c}\vec{A})^2 \psi + V \psi \]
Vamos a ver cómo se transforman los nuevos campos al hacer la trnsformación gauge:
\[(i\hbar\partial_t -e\phi') \psi' = e^{i\theta}(i\hbar \partial_t - \hbar \partial_t \theta -e \phi') \psi = e^{i\theta} (i\hbar \partial_t - e\phi)\psi \]\[(i\hbar\vec{\nabla} + \frac{e}{c}\vec{A}')\psi' = e^{i\theta}(i\hbar\vec{\nabla} - \hbar \vec{\nabla}\theta + \frac{e}{c}\vec{A}')\psi = e^{i\theta}(i\hbar\vec{\nabla} + \frac{e}{c}\vec{A})\psi \]
Por lo tanto:
\[\phi' = \phi + \frac{\hbar}{e}\partial_t \theta \qquad \vec{A}' = \vec{A} - \frac{\hbar c}{e} \vec{\nabla}\theta\]
¿Te suenan estas transformaciones? Si hacemos \(f = -\frac{\hbar c}{e} \theta\), las expresiones son idénticas a las transformaciones gauge de los campos electromagnéticos que hemos visto antes. De hecho, la ecuación de arriba no es más que la ecuación de Schrödinger para una partícula de carga eléctrica \(e\) en un campo electromagnético \(\phi, \vec{A}\). El teorema de Nöther nos enseñó que una simetría continua implica la existencia de una cantidad conservada, y en el caso de la U(1) la cantidad conservada no es otra que la carga eléctrica.

Obviamente, no es simplemente una coincidencia. Este es el concepto clave para la descripción de las fuerzas fundamentales de la naturaleza, la teoría de Yang-Mills: se comienza con unas ecuaciones (normalmente la versión relativistic-friendly de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Dirac) que posee cierta simetría global, y se promociona a simetría local. Para ello aparecen un conjunto de campos gauge, correspondientes a una fuerza (en teoría cuántica de campos, los campos gauge representan a los bosones mediadores de la interacción). Para el electromagnetismo, la simetría es U(1), para la electrodébil U(1)xSU(2), y para la fuerte SU(3). Si quieres resumir el modelo estándar de la física de partículas en una sola palabra, sería U(1)xSU(2)xSU(3).

Para más información...

Enrique F. Borja: Gauge esto, Gauge lo otro... ¿qué es una teoría Gauge? Cuentos Cuánticos
César Tomé: De la simetría y su rotura (II). Cuaderno de cultura científica.