Nuestro punto de partida para enunciar la mecánica cuántica fue realizar sumas del propagador de Feynman sobre todas las trayectorias posibles, o bien sustituir en la relación de dispersión las posiciones y momentos por operadores. Se puede ver que ninguna de las dos opciones, tal cual están formuladas, cumple con los requisitos de la relatividad especial: la integral de camino incluye la contribución de trayectorias superlumínicas, mientras que la ecuación de Schrödinger discrimina espacio y tiempo: aparecen derivadas primeras respecto del tiempo y derivadas segundas respecto de la posición. Como tanto la relatividad como la cuántica tienen tras de sí un importante respaldo experimental, hay que encontrar una solución a este problema.
La opción de cambiar la relación de dispersión es relativamente simple. Sabemos que la energía de una partícula con masa \(m\) y momento \(\vec{p}\) en relatividad especial está dada por \[E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}\]Así que intentamos hacer la técnica usual de cuantización:\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{(mc^2)^2 + (-i\hbar c\vec{\nabla})^2}\psi= mc^2 \sqrt{1+\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2 \nabla^2}\psi\] ¿Pero qué significa la raíz cuadrada de un operador? Podemos hacer como hicimos para calcular la exponencial de un operador: sustituirla por su desarrollo de Taylor \[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = mc^2\left( 1- \frac{\nabla^2}{2m^2 c^2} - \frac{\nabla^4}{8m^4 c^4} - \frac{\nabla^6}{16 m^6 c^6} + \cdots \right)\psi\]Pues si nos espantaba que en la ecuación de Schrödinger salieran derivadas de distinto orden, ahora tenemos ese mismo problema solo que más grave, ya que tenemos ¡infinitas derivadas espaciales! Esto no es solo un quebradero de cabeza computacional, sino también físico, ya que para calcular una solución necesitaríamos infinitas condiciones de contorno, es decir, conocer la función en infinitos puntos, lo que hace la teoría altamente no local. Y eso son palabras mayores.
\[-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = (m^2c^4 - \hbar^2c^2 \nabla^2)\psi\]El hecho de que sea una buena ecuación relativista se ve más claramente si escribimos las derivadas como cuadrivectores:\[\partial_\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla}\right)\qquad \partial^\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\vec{\nabla}\right)\qquad \partial_\mu\partial^\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 \]con lo cual la ecuación de Klein-Gordon queda \[\partial_\mu\partial^\mu \psi = - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\psi\]
Aunque la cosa pinta mejor, la ecuación de Klein-Gordon también tiene sus problemillas. En primer lugar, no podemos interpretar \(\psi^\star\psi\) como la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula, ya que no es invariante bajo transformaciones relativistas. En su lugar, se emplea\[J^0 = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^\star \partial^0 \psi - \psi \partial^0 \psi^\star)\]
Sin embargo, aunque su integral a todo el espacio sea 1, esta densidad puede hacerse negativa (¿qué significa una probabilidad negativa?) ya que al tratarse de una ecuación en derivadas segundas, \(\psi\) y \(\partial^\mu \psi\) son independientes.
Aún hay otro inconveniente, y es que al elevar al cuadrado la energía hemos introducido soluciones con energía negativa. Unas pocas soluciones de energía negativa no serían un problema. Pero es que tenemos un continuo de energías negativas, sin un límite inferior: las partículas, buscando su mínimo de energía, estarían continuamente decayendo a energías menores, para ello aumentando su momento. Claramente eso no ocurre, por lo que tendremos que buscar otra ecuación.
Dada las patologías de la ecuación de Klein-Gordon, inicialmente no recibió mucha atención. Como los problemas parecían deberse a las derivadas segundas, Dirac intentó hacer una ecuación de ondas relativista usando solo derivadas primeras. Su propuesta era \[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = (-i\hbar c\vec{\alpha}\cdot\vec{\nabla} + \beta mc^2)\psi\]Ahora hay que elegir cuidadosamente \(\vec{\alpha}\) y \(\beta\) para que las partículas libres cumplan la relación de dispersión
\[\psi = A \exp\left(i\frac{\vec{x}\cdot\vec{p}-Et}{\hbar}\right)\]
\[i\hbar\psi = E\psi = (-i\hbar c\vec{\alpha}\cdot\vec{\nabla} + \beta mc^2)\psi = (c\vec{\alpha}\cdot\vec{p} + \beta mc^2)\psi \]
Elevamos al cuadrado para ver la relación de dispersión \[E^2 = c^2\sum_{i,j=1}^3 \alpha^i \alpha^j p_i p_j + \beta^2 m^2c^4 + c\sum_{i=1}^3 (\alpha^i \beta + \beta \alpha^i) m c^2 p^i\]Para que sea válido debe cumplirse que \[\alpha^i\alpha^j + \alpha^j \alpha^i = \frac{1}{2}\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{c c}\frac{1}{2} & \textrm{si} i=j \\ 0 & \textrm{si} i\neq j\end{array}\right.\]
\[\beta^2 = 1 \qquad \alpha^i \beta + \beta \alpha^i = 0\] Es evidente que estas relaciones no las podemos conseguir si \(\vec{\alpha}\) y \(\beta\) son números. En su lugar, tendremos que recurrir -cómo no- a matrices. Se define el anticonmutador de dos matrices como \(\{A, B\} = AB + BA\), por lo que las matrices de Dirac están caracterizadas por sus relaciones de anticonmutación (ágebra de Clifford). En concreto, para que todo cuadre necesitamos matrices cuya dimensión sea al menos 4. Una elección común para las matrices es:
\[\alpha^1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad \alpha^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\alpha^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Aunque se suelen expresar en términos de las matrices de Dirac \(\beta=\gamma^0\) y \(\vec{\alpha} = \gamma^0 \vec{\gamma}\), que forman un cuadrivector \((\gamma^0, \vec{\gamma})\)
\[\gamma^1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad \gamma^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & i & 0 & 0\\ -i & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Observad que en las matrices \(\vec{\alpha}\) contienen como submatrices a las matrices de Pauli. Curioso, ¿verdad?
Volviendo a la ecuación de Dirac, que ahora podemos escribir como \[ (i\hbar \gamma^\mu \partial_mu - mc) \psi = (i\hbar \not\!\partial -mc) \psi = 0\] es obvio que si los operadores son matrices de dimensión cuatro, la función de ondas deberá ser un vector de dimensión cuatro. A este tipo de vectores - que no se transforma igual que los cuadrivectores - se le llama biespinor, y si nos quedamos solo con las dos primeras componentes o las dos últimas, estas forman un espinor. (Arriba no es que hayamos "cancelado" la derivada y por eso la hemos tachado, es la llamada notación slash de Feynman: \(\not\!\!A= \gamma^\mu A_\mu\))
Con la ecuación de Dirac sí se puede obtener una densidad de probabilidad como Born manda, dada por \[J^0 = \psi^\dagger\psi\]
La ecuación de Dirac, además, es capaz de predecir correctamente el espectro de energía del átomo de hidrógeno (no como Klein-Gordon, o como Schrödinger que solo obtiene la solución en primer orden de aproximación). Todo parece un triunfo para Dirac, pero... ¡Tachán! La ecuación de Dirac adolece de los mismos problemas con la energía negativa que tenía Klein-Gordon.
El gran éxito de Dirac fue interpretar el significado de los estados de energía negativa, junto con el papel que juegan las cuatro componentes del espinor. Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión...
La opción de cambiar la relación de dispersión es relativamente simple. Sabemos que la energía de una partícula con masa \(m\) y momento \(\vec{p}\) en relatividad especial está dada por \[E = \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}\]Así que intentamos hacer la técnica usual de cuantización:\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{(mc^2)^2 + (-i\hbar c\vec{\nabla})^2}\psi= mc^2 \sqrt{1+\left(\frac{\hbar}{mc}\right)^2 \nabla^2}\psi\] ¿Pero qué significa la raíz cuadrada de un operador? Podemos hacer como hicimos para calcular la exponencial de un operador: sustituirla por su desarrollo de Taylor \[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = mc^2\left( 1- \frac{\nabla^2}{2m^2 c^2} - \frac{\nabla^4}{8m^4 c^4} - \frac{\nabla^6}{16 m^6 c^6} + \cdots \right)\psi\]Pues si nos espantaba que en la ecuación de Schrödinger salieran derivadas de distinto orden, ahora tenemos ese mismo problema solo que más grave, ya que tenemos ¡infinitas derivadas espaciales! Esto no es solo un quebradero de cabeza computacional, sino también físico, ya que para calcular una solución necesitaríamos infinitas condiciones de contorno, es decir, conocer la función en infinitos puntos, lo que hace la teoría altamente no local. Y eso son palabras mayores.
Klein-Gordon
Podemos evitar la raíz cuadrada si cuantizamos \[E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2\]Esta fue la idea original de Schrödinger. Sin embargo, con la ecuación que obtuvo no consiguió reproducir el espectro de enrgías del átomo de hidrógeno, por lo que la desechó y en su lugar formuló la ecuación no relativista que lleva su nombre. La versión relativista fue redescubierta de manera independiente por Klein y Gordon, que se llevaron la gloria:\[-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = (m^2c^4 - \hbar^2c^2 \nabla^2)\psi\]El hecho de que sea una buena ecuación relativista se ve más claramente si escribimos las derivadas como cuadrivectores:\[\partial_\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla}\right)\qquad \partial^\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\vec{\nabla}\right)\qquad \partial_\mu\partial^\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 \]con lo cual la ecuación de Klein-Gordon queda \[\partial_\mu\partial^\mu \psi = - \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\psi\]
Aunque la cosa pinta mejor, la ecuación de Klein-Gordon también tiene sus problemillas. En primer lugar, no podemos interpretar \(\psi^\star\psi\) como la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula, ya que no es invariante bajo transformaciones relativistas. En su lugar, se emplea\[J^0 = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^\star \partial^0 \psi - \psi \partial^0 \psi^\star)\]
Sin embargo, aunque su integral a todo el espacio sea 1, esta densidad puede hacerse negativa (¿qué significa una probabilidad negativa?) ya que al tratarse de una ecuación en derivadas segundas, \(\psi\) y \(\partial^\mu \psi\) son independientes.
Aún hay otro inconveniente, y es que al elevar al cuadrado la energía hemos introducido soluciones con energía negativa. Unas pocas soluciones de energía negativa no serían un problema. Pero es que tenemos un continuo de energías negativas, sin un límite inferior: las partículas, buscando su mínimo de energía, estarían continuamente decayendo a energías menores, para ello aumentando su momento. Claramente eso no ocurre, por lo que tendremos que buscar otra ecuación.
Dirac
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| Placa conmemorativa de Dirac en la abadía de Westminster, incluyendo su ecuación. |
\[\psi = A \exp\left(i\frac{\vec{x}\cdot\vec{p}-Et}{\hbar}\right)\]
\[i\hbar\psi = E\psi = (-i\hbar c\vec{\alpha}\cdot\vec{\nabla} + \beta mc^2)\psi = (c\vec{\alpha}\cdot\vec{p} + \beta mc^2)\psi \]
Elevamos al cuadrado para ver la relación de dispersión \[E^2 = c^2\sum_{i,j=1}^3 \alpha^i \alpha^j p_i p_j + \beta^2 m^2c^4 + c\sum_{i=1}^3 (\alpha^i \beta + \beta \alpha^i) m c^2 p^i\]Para que sea válido debe cumplirse que \[\alpha^i\alpha^j + \alpha^j \alpha^i = \frac{1}{2}\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{c c}\frac{1}{2} & \textrm{si} i=j \\ 0 & \textrm{si} i\neq j\end{array}\right.\]
\[\beta^2 = 1 \qquad \alpha^i \beta + \beta \alpha^i = 0\] Es evidente que estas relaciones no las podemos conseguir si \(\vec{\alpha}\) y \(\beta\) son números. En su lugar, tendremos que recurrir -cómo no- a matrices. Se define el anticonmutador de dos matrices como \(\{A, B\} = AB + BA\), por lo que las matrices de Dirac están caracterizadas por sus relaciones de anticonmutación (ágebra de Clifford). En concreto, para que todo cuadre necesitamos matrices cuya dimensión sea al menos 4. Una elección común para las matrices es:
\[\alpha^1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad \alpha^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\alpha^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Aunque se suelen expresar en términos de las matrices de Dirac \(\beta=\gamma^0\) y \(\vec{\alpha} = \gamma^0 \vec{\gamma}\), que forman un cuadrivector \((\gamma^0, \vec{\gamma})\)
\[\gamma^1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\qquad \gamma^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & i & 0 & 0\\ -i & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]\[\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Observad que en las matrices \(\vec{\alpha}\) contienen como submatrices a las matrices de Pauli. Curioso, ¿verdad?
Volviendo a la ecuación de Dirac, que ahora podemos escribir como \[ (i\hbar \gamma^\mu \partial_mu - mc) \psi = (i\hbar \not\!\partial -mc) \psi = 0\] es obvio que si los operadores son matrices de dimensión cuatro, la función de ondas deberá ser un vector de dimensión cuatro. A este tipo de vectores - que no se transforma igual que los cuadrivectores - se le llama biespinor, y si nos quedamos solo con las dos primeras componentes o las dos últimas, estas forman un espinor. (Arriba no es que hayamos "cancelado" la derivada y por eso la hemos tachado, es la llamada notación slash de Feynman: \(\not\!\!A= \gamma^\mu A_\mu\))
Con la ecuación de Dirac sí se puede obtener una densidad de probabilidad como Born manda, dada por \[J^0 = \psi^\dagger\psi\]
La ecuación de Dirac, además, es capaz de predecir correctamente el espectro de energía del átomo de hidrógeno (no como Klein-Gordon, o como Schrödinger que solo obtiene la solución en primer orden de aproximación). Todo parece un triunfo para Dirac, pero... ¡Tachán! La ecuación de Dirac adolece de los mismos problemas con la energía negativa que tenía Klein-Gordon.
El gran éxito de Dirac fue interpretar el significado de los estados de energía negativa, junto con el papel que juegan las cuatro componentes del espinor. Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión...
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