Ecuación de Schrödinger

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Con la revolución cuántica, la luz adquirió una personalidad bipolar, ahora soy una onda, ahora un corpúsculo. Louis de Broglie se atrevió a ir un paso más allá y supuso que a la materia le pasaba lo mismo. Para describir a una partícula usaremos una función de ondas \(\psi(x, t)\), que codifica la amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula en el tiempo \(t\) en la posición \(x\).

Si seguimos a Feynman, podremos relacionar las funciones de ondas a dos tiempos distintos mediante el propagador.

\[ \psi(x, t) =\int \psi(x', t') K(x' t', x t) dx' \]

Para que tenga el sentido interpretarla como una amplitud de probabilidad, la función de onda debe cumplir que la probabilidad a todo el espacio sea 1 (seguro que la partícula está en algún lugar):

\[\int \psi^* \psi d\vec{x} = 1\] 

Como ya vimos, los parámetros que caracterizan a una onda son la frecuencia \(\omega\) y el vector de ondas \(\vec{k}\), ligados por una relación de dispersión \(\omega(\vec{k})\). Además, las ondas poseen energía y momento lineal, pero no pueden disponer de ellos a voluntad, sino que siempre los intercambian en múltiplos enteros de los cuantos

\(H=\hbar\omega \qquad\qquad \vec{p}=\hbar\vec{k}\)

El factor de proporcionalidad, \(\hbar\), conocido como constante [reducida] de Planck, ya hizo aparición al discutir la relación entre la formulación de Feynman y la mecánica clásica, donde vimos que marcaba el límite en que empieza a ser válido lo clásico.

La ecuación de Schrödinger

Nuestras ondas preferidas son las ondas planas \(\phi = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}\).

Vamos a hacer algunas operaciones con ellas:

\[\frac{\partial \phi}{\partial t} = -i\omega A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)} = -i\omega \phi = -\frac{i}{\hbar}H\phi\]

\[\vec{\nabla}\phi = i\vec{k} A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)} =  i \vec{k} \phi = \frac{i}{\hbar} \vec{p}\phi\]

Ahora vamos a intentar construir la ecuación que siguen las ondas de materia \(\psi\), en ausencia de energía potencial. Al fin y al cabo, son materia, por lo que conocemos la relación que guardan la energía y el momento lineal.\(H = \frac{p^2}{2m}\)

Multiplicando ambos lados por la onda plana

\[H\psi = \frac{p^2}{2m}\psi\]

y sustituyendo los resultados anteriores

\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2 m}\nabla^2 \psi\]

Antes de poder introducir el potencial, necesitaremos un poco de aparataje matemático (lo siento, pero la vida es así de dura). Las funciones de onda forman un espacio lineal -técnicamente, un espacio de Hilbert, pero a eso ya llegaremos- lo qe significa que si coges dos funciones de onda y las sumas, el resultado es otra función de onda, y que si coges una función de ondas y la multiplicas por un número [complejo], el resultado sigue siendo una función de ondas. Esto nos permite escribir cualquier función de ondas como una suma (o en general una integral) a una serie de funciones de ondas de nuestra elección, a la que llamaremos base. Un ejemplo de base es el conjunto de todas las posibles ondas planas:

\[\psi = \int A(\vec{k}) e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)} d\vec{k} \]

Sumar y multiplicar dentro de un espacio lineal puede dar mucho juego. La forma más concisa de resumir todas estas operaciones es en forma de matrices. Todo aquello que puedes escribir en forma de matriz se traduce, en la mente abstracta de los matemáticos, en un operador lineal. Un operador lineal es una transformación \(A\) que te lleva de un elemento del espacio vectorial a otro, tal que si se la aplicas a una suma de elementos el resultado es la suma de lo que obtendrías al aplicarlo individualmente: \[A(\alpha \phi_1 + \beta \phi_2) = \alpha A(\phi_1) + \beta A(\phi_2)\]

Ya hemos visto dos ejemplos de estas transformaciones: el hamiltoniano \(H\) y el momento lineal \(P\).  En cuántica, añadiremos un requisito adiccional a nuestros operadores lineales: deben ser hermíticos o autoadjuntos, lo que significa que al trasponer la matriz correspondiente (es decir, cambiar las filas por las columnas) el resultado es como la matriz original pero con todos los números conjugados. A cada magnitud física le corresponderá uno de estos operadores, que se conocen como observables.

Hasta ahora, tenemos dos observables que lo que hacen es, básicamente, derivar las funciones de ondas. Pero les podemos hacer más trastadas... Por ejemplo, podemos multiplicar la función por la coordenada \(x\) (o también por \(y\) o por \(z\), por supuesto). Este es el observable \(X\), la posición. Análogamente, con cualquier función \(f(x,y,z)\) podemos construir un observable \(f(X, Y, Z)\) consistente en multiplicar la onda por dicha función. Esta técnica se conoce como cuantización: pillamos por banda a un hamiltoniano clásico y sustituímos las coordenadas y los momentos por sus operadores. Así podemos obtener la celebrada ecuación de Schrödinger:

\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = H\psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{R})\right)\psi\]

Muchas veces (¡pero no siempre!) el hamiltoniano no depende del tiempo. En estos casos, podemos descomponer la función de ondas según \(\psi(\vec{r},t) = \phi(\vec{r}) e^{-i E t/\hbar} \). Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger, obtenemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{R})\right)\phi(\vec{r}) = E \phi(\vec{r})\]

Que quede claro que aquí que \(E\) no es un operador, sino un número. Y no un número cualquiera, es el valor que obtenemos al medir la energía de la partícula. Este tipo de ecuaciones donde el resultado de aplicar un operador a un vector es proporcional al vector se denominan ecuaciones de autovalores (el vector que las satisface es un autovector y el factor de proporcionalidad un autovalor). Resulta que estas ecuaciones, en general, no tienen solución excepto para determinados autovalores: esto significa que la energía solamente puede tomar algunos valores (cuantización).

Valores y más valores

Si rebobinas un poco, podrás comprobar que las ondas planas son los autovectores del operador momento, con autovalor el momento lineal de la onda \(Pe^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)} = \hbar \vec{k} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}\). ¿Eres capaz de encontrar los autovectores del operador posición?

Imaginemos que queremos saber cuál es el momento de una partícula. Si su función de ondas es una onda plana no hay problema, le hacemos actuar el operador momento y sacamos el autovalor. Pero, ¿y si no es una onda plana? Vamos a probar con algo tan sencillo como la suma de dos ondas planas distintas:

\[\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(A_1 e^{i\vec{k}_1\cdot\vec{x}} + A_2e^{i \vec{k}_2\cdot\vec{x}}\right)\]

\[P\psi =  \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\vec{k}_1 A_1 e^{i\vec{k}_1\cdot\vec{x}} + \vec{k}_2 A_2e^{i \vec{k}_2\cdot\vec{x}}\right) \]

Esto no es un autovector. ¿Y ahora qué hacemos?

Partamos de nuevo de la onda plana: le aplicamos el operador momento, y el resultado lo multiplicamos por el complejo conjugado de la función de ondas

\[\psi^* P \psi = A^* e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}} \hbar\vec{k} A e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}} = |A|^2 \hbar \vec{k}\]

Ahora solo tenemos que librarnos del \(|A|^2\). Recordemos que hemos definido la función de ondas como la amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula. Por lo tanto, la probabilidad total de encontrarla en algún punto del espacio es

\[1 = \int \psi^* \psi d\vec{x} = \int |A|^2 d\vec{x}\]

Así que probamos a integrar a todo el espacio la expresión anterior

\[\int \psi^* P \psi d\vec{x} = \int \hbar\vec{k} |A|^2 d\vec{x} = \hbar \vec{k}\]

¿Es esta receta más apropiada para calcular el valor del momento? Probemos con la combinación de dos ondas planas, como antes:

\[\psi^* P \psi = \frac{1}{2}\left(|A_1|^2 \hbar \vec{k}_1 + |A_2|^2 \hbar \vec{k}_2 + A_1^* A_2 \hbar\vec{k}_2 e^{i(\vec{k}_1-\vec{k}_2)\cdot \vec{x}} + A_2^* A_1 \hbar\vec{k}_1 e^{i(\vec{k}_2-\vec{k}_1)\cdot \vec{x}} \right)\]

\[\int \psi^* P \psi d\vec{x} = \frac{1}{2}\hbar\vec{k}_1 \int |A_1|^2 d\vec{x} +\frac{1}{2}\hbar\vec{k}_2 \int |A_2|^2 d\vec{x}= \frac{1}{2}\hbar(\vec{k}_1+\vec{k}_2) \]

Así que el resultado es el valor medio de los momentos de cada una de las ondas planas. Ummm, bastante lógico, ¿no?.

En general, se define el valor esperado de un observable \(A\) cuando la partícula se encuentra en el estado \(\psi\) como:

\[\langle A \rangle = \int \psi^* A \psi d\vec{x}\]

Un momento, que me he deslocalizado

Siguiendo con la estadística, si podemos obtener un valor medio también podemos calcular, por ejemplo, la varianza de un operador, definida como

\[(\Delta A)^2 = \langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2 \]

Su raíz cuadrada, la incertidumbre, da una idea de cuánto puede diferir el valor real del observable de su valor esperado. Si es distinta de cero, significa que no tenemos información completa de nuestra partícula... Así que eso significa que en la cuántica, todo lo que podemos conocer es probabilístico. Por muy chocante que pueda parecer, los experimentos han respaldado este hecho una y otra vez durante los últimos 80 años.

En el caso de una onda plana, no hay ninguna incertidumbre en el momento (la incertidumbre de un observable en uno de sus autoestados siempre es nula), pero a cambio la incertidumbre en la posición es infinita. También hay estados en los que la incertidumbre de la posición es nula, representados matemáticamente por deltas de Dirac; en ellos la incertidumbre del momento es infinita. Además de los casos extremos, hay muchas otras funciones de onda, en las cuales tanto la posición como el momento tienen incertidumbre. Un ejemplo son los paquetes de onda gaussianos:

\[\phi = \frac{1}{\sqrt{\pi^{1/2} \sigma}}e^{-x^2/2\sigma^2} \qquad\qquad \Delta X = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\qquad \Delta P = \frac{\hbar}{2\sigma}\]

Parece que existe alguna relación entre la incertidumbre en la posición y el momento. De hecho, este es el contenido del principio de incertidumbre de Heisenberg

\[\Delta X \Delta P \geq \frac{\hbar}{2}\]

que en realidad es un caso más particular de la relación

\[\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle [A, B]\rangle|\]

El conmutador de dos observables se define como la diferencia entre hacer actuar primero uno y después el otro y viceversa

\[[A,B] = AB - BA\]

En el caso de la posición y el momento:

\[[X, P]f(x) = -i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial x}\right)f(x) +i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\left( x f(x)\right)= - i\hbar f(x) \qquad [X,P] = -i\hbar \qquad \Delta X \Delta P \geq \frac{1}{2}\hbar\]

Si dos observables conmutan, se puede conocer simultáneamnete el valor de sus magnitudes con toda la precisión necesaria. Si por el contrario no conmutan, no es lo mismo medir uno antes o después que el otro, y la medida simultánea de los dos necesariamente conlleva una incertidumbre.

Medidas problemáticas

Esto nos conduce directamente al "problema" de la medida. ¿Qué podemos obtener al hacer la medición de una magnitud representada por un observable \(A\)? Resulta que solamente los autovalores \(a_n\) de ese observable (\(A \phi_n = a_n \phi_n\)). Sí, pero ¿cuál de ellos? Pues cualquiera, pero con una probabilidad dada por

\[Prob(a_n) = \int \phi_n^* \psi d\vec{x}\]

Por supuesto se cumplen las siguientes propiedades:

\[1 = \sum_n Prob(a_n)  \qquad \qquad \langle A\rangle = \sum_n a_n Prob(a_n) \]

La magia viene cuando nos proponemos hacer dos medidas muy seguidas del mismo observable. La lógica dicta que deberíamos tener el mismo resultado. Y por una vez, la cuántica nos da la razón. Pero, si el resultado de una medida es aleatorio, ¿cómo podemos garantizarlo? Muy fácil, después de hacer la primera medida, si hemos obtenido \(a_n\), la función de ondas se transforma en \(psi' = \phi_n\). Así, al hacer la segunda medida, la probabilidad de volver a obtener \(a_n\) es 

\[Prob(a_n) = \int \phi_n^* \phi_n d\vec{x} = 1\]

¡Tachán! Aquí es donde vienen las comillas del "problema" de la medida: desde el punto de vista operativo, está muy claro que la función de ondas se transforma de forma brusca al hacer una medición. Ahora bien, desde el punto de vista filosófico, esto plantea muchos dilemas, que se han intentado "arreglar" con palabrería del estilo: colapso de la función de ondas, universos paralelos, bayesianismo cuántico, etc.

No hay que perder de vista que la función de ondas no es un ente físico, solamente es un objeto matemático con el que describimos el conocimiento [probabilístico] del que disponemos sobre la partícula, y que nos sirve para hacer unos cálculos que reproducen con extraordinaria fidelidad la naturaleza. Al hacer una medición, "actualizamos" nuestra información de forma brusca, por lo que es normal esperar que la función de ondas también cambie bruscamente. No es que la observación altere a la partícula, es que nos altera a nosotros y nuestras ideas sobre la partícula.