miércoles, 17 de diciembre de 2014

La termodinámica de los anillos

Con el estreno de la última entrega de El Hobbit, aprovecho a compartir un problemilla que escribí el año pasado basado en una escena de La desolación de Smaug. Nota, no lo he intentado resolver, así que podría salir cualquier cosa... ¿te atreves?

a) Se tiene un tesoro guardado en el interior de una montaña a temperatura \(T_0\), del cual se desea fundir una masa \(M\). Los enanos emplean una máquina térmica operando como bomba de calor: realizando trabajo al saltar sobre los fuelles, tomando calor de la llamarada de Smaug y cediéndolo a sus riquezas. El aire en el interior de los fuelles describe, aproximadamente, un ciclo de Stirling: compresión isoterma, calentamiento isócoro, expansión isoterma y enfriamiento isócoro. Considerando que el botín está compuesto únicamente por oro (despreciando por tanto las trazas de plata, diamantes y mithrill), y que el ciclo presenta su máximo rendimiento teórico, calcule la potencia mínima necesaria para que la llamarada de Smaug logre tal cometido.
b) Se puede considerar que un metal a altas temperaturas es una buena aproximación de un cuerpo negro. Calcule la longitud de onda de máxima emisión y el flujo radiado en el espectro visible por el oro líquido en equilibrio con la fase sólida. Comente el resultado y compárelo con lo mostrado en la película.
c) Con la ayuda de una tabla de colores, estime la temperatura a la que se encuentra el oro fundido (si es necesario, realice una interpolación lineal entre los dos colores más próximos). Utilice este resultado para calcular la potencia real de la llamarada de Smaug.
Datos: \(M\) = 100 toneladas, \(T_0\)=290 K, punto de fusión del oro a 1 atm: 1337 K, calor específico del oro sólido: 126 J/kg K, masa total de los enanos: 400 kg, altura media del salto de un enano: 0.7 m, gravedad en la Tierra Media: 9.57 m/s2, calor latente de fusión del oro: 67 kJ/kg, duración de la llamarada: 6.3 s, espectro visible (para un hobbit medio): 400 nm hasta 700 nm, calor específico del oro fundido: 25.42 J/K mol, masa molar del oro: 196.97 g/mol.