sábado, 27 de diciembre de 2014

Yo soy Einsteiner

Todo es relativo... o no

Un genial vídeo de José Luis Crespo (@QuantumFracture) que explica la relatividad especial y la general.
 Hoy vamos a hablar sobre la teoría especial de la relatividad, formulada por Einstein en 1905. Pero toda historia tiene su comienzo, y el nuestro se encuentra en las leyes de Maxwell. En concreto, en la ecuación de ondas que resulta al combinar las cuatro leyes en ausencia de cargas y corrientes:
\[\nabla^2 \vec{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\]
En esta expresión aparece una velocidad, \(c\), que es característica de las ondas electromagnéticas. En aquella época era bien conocida la ley de transformación de Galileo, que dicta que para cambiar entre dos sistemas de referencia no acelerados, a las velocidades medidas por uno de los observadores hay que sumarle la diferencia de velocidades entre los dos sistemas. También se conocían unos cuantos ejemplos de ondas mecánicas (vibraciones en cuerdas, sonido en el aire,...), que obedecían esa misma ecuación. Y en todas ellas, la velocidad que aparece en la ecuación es la que mide un observador que ve el medio de propagación (la cuerda, el aire,...) en reposo.
Así que, cuando se encontraron con una ecuación de ondas, los físicos decidieron elaborar una teoría científica basada en sus conocimientos previos: las ondas se propagan por un medio, al que bautizaron como "éter luminífero" (el nombre es demasiado poético, lo sé) en el que las ondas se propagaban a velocidad \(c\). Evidentemente, en cualquier otro sistema de refrencia la velocidad será distinta.
Como cualquier teoría científica que se precie, la teoría del éter hacía predicciones que podían ser comprobadas experimentalmente, como esta:
La Tierra, por su movimiento alrededor del Sol,  tendría una velocidad respecto al éter. Así que una onda electromagnética en la dirección de avance de la Tierra se propagaría a diferente velocidad que otra onda que viaje perpendicularmente. La diferencia de velocidades sería muy pequeña, pero los medios técnicos de la época eran suficientes para medirla: Michelson desarrolló un interferómetro capaz de tal tarea. Consistía en un rayo de luz que llegaba a un divisor de haz, que produce dos rayos perpendiculares. Cada uno de ellos va hasta un espejo (es muy importante que ambos espejos estén a la misma distancia del divisor de haz), se refleja y vuelve al divisor. Al unirse los dos rayos, interfieren y crean un patrón de bandas claras y oscuras. Si la velocidad es igual por ambos trayectos, en el centro del patrón debería haber una banda clara, pero si hay diferencias, la banda clara estaría desplazada.

Michelson realizó, junto con Morley, este experimento en varias ocasiones entre 1881 y 1887, aumentando la precisión de los aparatos empleados. En todos los casos, y en contra de lo esperado, obtuvieron que la velocidad de la luz por ambos trayectos era la misma.
Lorentz intentó elaborar una teoría del éter consistente con los resultados experimentales. Para ello postuló que el aparato sufre una contracción, e introdujo una magnitud intermedia, el tiempo local, a la que no atribuyó ningún papel físico. Poincaré refinó la teoría, interprtándola en términos de la constancia de la velocidad de la luz. Aunque la interpretación física de Lorentz no es la correcta, las transformaciones matemáticas (hoy conocidas como transformaciones de Lorentz) del espacio y el tiempo sí lo son.


Einstein y Minkowski

De manera simultánea e independiente a Lorentz, Einstein realizó su teoría de la relatividad especial. Parece ser que no conocía los trabajos de Poincaré, y probablemente tampoco el resultado de Michelson. Por el contrario, las motivaciones de Einstein eran más teóricas y "profundas". Su teoría se basa en dos postulados básicos:
  1. Las leyes físicas son iguales en todos los sistemas de referencias inerciales.
  2. La velocidad de la luz en el vacío, \(c\), es independiente de la velocidad de la fuente o del observador.
Únicamente partiendo de estas dos premisas, se puede explicar el resultado del experimento de Michelson y muchos otros fenómenos.

Si en un determinado sistema de referencia inercial se miden una distancia \(x\) y un tiempo \(t\), en otro sistema que se moviera respecto de él a una velocidad \(v\) en la dirección del eje x mediría los siguientes tiempos y distancias:
\[x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \qquad t' = \frac{t-\frac{xv}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Si expresamos la velocidad en términos de la velocidad de la luz \(\beta = \frac{v}{c}\) y empleamos el factor de Lorentz
\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\]
las transformaciones de Lorentz se pueden escribir como
\[\begin{pmatrix}x' \\ ct' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma & -\beta \gamma \\-\beta\gamma & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ ct \end{pmatrix} \]


Se deduce de estas transformaciones que el segundo observador apreciará una contracción de las longitudes (en mediciones simultáneas, cuando \(t'=0\)) y una dilatación de los tiempos (midiendo en el mismo lugar, con \(x=0\)). También se aprecia que el concepto de simultaneidad es relativo: si uno de los observadores ve dos sucesos como simultáneos, con \(t=0\), cualquier otro observador verá \(t' \neq 0\). A pesar de esto, no debes preocuparte, porque la causalidad no es relativa.

Un vector es una colección de tres números \(\vec{r} = (x, y, z)\) que se transforman de una determinada manera (igual que las coordenadas de un punto) al hacer una rotación. Hay una característica del vector, su módulo, que se mantiene invariante al hacer una rotación: \(r^2 = x^2 + y^2 + z^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2\). Análogamente, para las transformaciones de Lorentz se puede formular el concepto de cuadrivector \(x^\mu = (ct, \vec{x})\), una colección de cuatro números que se transforman de la manera apropiada, igual que los tiempos y las longitudes (estos vectores forman el espacio de Minkowski, en el que las transformaciones de Lorentz son análogas a las rotaciones)
\[\Lambda_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}\gamma & -\beta \gamma \\-\beta\gamma & \gamma \end{pmatrix} \qquad x'^\mu = \sum_\nu  \Lambda_{\mu\nu} x^\nu \] 
y también hay una cantidad invariante llamada intervalo
\[s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = \sum_{\mu, \nu} \eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu  \qquad \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\]
Que no os confunda el cuadrado, \(s^2\) puede ser positivo, cero o negativo. Si \(s^2 = 0\), es un intervalo tipo luz, que solo puede corresponder a la trayectoria de la luz. El caso \(s^2 < 0\) es un intervalo tipo tiempo, y corresponde a una trayectoria a una velocidad menor que la luz, y en estos casos siempre es posible definir un ordenamiento de eventos coherente. Con \(s^2 > 0\) hay intervalos tipo espacio, en los que los extremos no tienen relación causal.


Hay otras magnitudes que también forman cuadrivectores. El ejemplo quizás más relevante es el cuadrivector energía-momento \(P^\mu = (E, c\vec{p})\). (El momento relativista es \(\vec{p} = \gamma m \vec{v}\)). Su módulo es:
\[-E^2 + c^2 p^2 = -m^2c^4 \]
La magnitud \(m\)  es la masa del cuerpo (en la literatura más antigua es \(m_0\), y se llama masa invariante). Todos los cuerpos tienen cierta energía, incluso cuando están en reposo \(\vec{p}=0\). Esta energía es precisamente la celebérrima ecuación de Einstein \[E=mc^2\]
Por otra parte, para las partículas sin masa (como los fotones), la energía es \(E = pc\).

Otros cuadrivectores son la densidad de carga y densidad de corriente eléctrica \(\rho^\mu = (\rho, \vec{J})\), el potencial eléctrico y magnético \(A^\mu = (\phi, \vec{A})\). El campo electromagnético forma un cuadri-tensor, una matriz de cuatro por cuatro elementos en el que tanto filas como columnas se transforman como cuadrivectores
\[F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \begin{pmatrix}0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0\end{pmatrix} \]
\[F'^{\sigma\rho} = \sum_{\mu, \nu}\Lambda_{\sigma\mu}\Lambda_{\rho\nu}F^{\mu\nu}\]