miércoles, 31 de diciembre de 2014

Jugando en grupo: U(1)

Para cerrar el año, vamos a dejar de momento de lado la física y a cambiar de tema. En concreto, vamos a hablar de... ¡matemáticas! (no, espera, no te vayas todavía. No será tan terrible, o eso espero).


Dramatis Personae


Vamos a presentar a los protagonistas de nuestro "juego": los grupos, las matrices, y los números complejos.

Un grupo es un conjunto de elementos \(\mathbb{A} = {a_1, a_2, \ldots, a_n}\) con los que podemos hacer una operación \(\star\). Naturalmente queremos que el resultado de la operación sea otro elemento del grupo \(a_x \star a_y = a_z\). También vamos a pedir que en el grupo haya un elemento neutro \(e\), tal que al emplearlo con la operación el resultado sea el otro factor \(a_x \star e = e \star a_x = a_x\); y que para cada elemento exista un inverso \({a_x}^{-1} \star a_x = a_x \star {a_x}^{-1} = e\). Notar que no hemos exigido que la operación sea conmutativa: \(a_x \star a_y \neq a_y \star a_x\). Si esto ocurre, el grupo es abeliano. Algunos grupos comunes son el de los números reales con la operación de suma, los reales excluyendo el 0 con el producto (ambos son abelianos), o el de las rotaciones de un objeto tridimensional (no abeliano).

Una matriz es una tabla de números (usualmente cuadrada: con tantas filas como columnas). El número que ocupa la fila \(j\)y la columna \(k\) de la matriz \(M\) lo denotaremos como \(m_{jk}\). Las matrices también se pueden sumar y multiplicar. Para sumar \(M = A+ B\), solo hay que sumar sus elementos: \(m_{jk} = a_{jk} + b_{jk}\). Las instrucciones para la multiplicación son algo más complicadas: para \(M = A\cdot B\), hay que hacer \(m_{jk} = \sum_n a_{jn} b_{nk}\). El producto de matrices no es conmutativo. Existe una matriz identidad \(I\) tal que \(A\cdot I = I \cdot A = A\). Muchas (aunque no todas) las matrices tienen inversas \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\). Las matrices también se pueden multiplicar por un número, con lo que se multiplican por ese número todos los elementos de la matriz.
También podemos hacer otras cosas con las matrices, como por ejemplo, la matriz transpuesta, que consiste en intercambiar filas y columnas: \({a'}_{jk} = a_{kj}\). La traza es la suma de todos los elementos de la diagonal de la matriz: \(\textrm{tr} A = \sum_j a_{jj}\). El determinante es otra propiedad interesante, aunque algo más enrevesada de explicar:
  1. Para una matriz cuadrada con 1 elemento de lado, \(\textrm{det}A = a_{11}\).
  2. Para una matriz cuadrada con \(n > 1\) elementos de lado, toma cada uno de los elementos de la primera fila de la matriz, \(a_{1j}\). 
  3. Para cada uno de ellos tacha la primera fila y la columna \(j\), obteniendo una matriz de \(n-1\) elementos de lado.
  4. Calcula el determninante de esta matriz más pequeña (consultando el punto 1 o el 2, según haga falta), al que llamaremos \(d_j\)
  5. Multiplícalo por \(a_{1j}\), y si \(j\) es par, cambia de signo: \( (-1)^{j+1}d_j a_{1j}\)
  6. Suma los números así obtenidos para todos los elementos de la fila, y la tienes el determinante: \(\textrm{det}A = \sum_j (-1)^{j+1} d_j a_{1j}\)
Como caso particular, para una matriz 2x2 el determinante es \(\textrm{det}A = a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21} \).
Lo último que vamos a hacer con las matrices es calcular su exponencial:
\[\exp A = I + \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j!}A^j\]

Y ahora tenemos que decidir qué números vamos a poner en las matrices. Podríamos usar los números reales, pero eso sería muy aburrido. En su lugar, usaremos los números complejos. Un complejo se puede representar como un punto en el plano, y está caracterizado por su módulo y su argumento. El módulo, \(r = |z|\) es la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto, y el argumento \(\varphi\) es el ángulo que forman el eje x y la recta que va desde el origen al punto. Esto se representa como \(z = r e^{i\varphi}\). Se llama unidad imaginaria al número \(i=e^{i\pi/2}\). Para multiplicar dos complejos, se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Dado un complejo, su conjugado es la reflexión del punto por el eje x: \(z^\star = r e^{-i\alpha}\). Ahora podemos definir una nueva operación con las matrices, el adjunto, que consiste en calcular a transpuesta y conjugar sus elementos: \({a^\dagger}_{jk} = a^\star_{kj}\).

El grupo unitario

Una vez conocidos los ingredientes, ya podemos empezar.
Una matriz unitaria \(U\) es aquella que, al calcular su adjunta, se obtiene la inversa de la matriz de partida:\[U^\dagger = U^{-1}\]
Se denomina grupo unitario \(U(N)\) el conjunto de matrices unitarias de dimensión \(N\). Esto es así porque el producto de dos matrices unitarias también es unitaria.
Cualquier matriz unitaria se puede expresar como la exponencial de una matriz hermítica multiplicada por \(i\), \(U=\exp(iH)\). Una matriz hermítica es aquella que es igual a su adjunta \(H^\dagger = H\): por lo tanto, en una matriz hermítica los elementos de la diagonal son números reales, y los de fuera de la diagonal pueden ser complejos, pero con \(h_{jk} = h_{kj}^\star\). En consecuencia, para caracterizar una matriz hermítica (y también una unitaria) de dimensión \(N\times N\), solo hay que especificar \(N^2\) números reales (grados de libertad).
El determinante de cualquier matriz unitaria tiene módulo uno, ya que:
\[\textrm{det}(U^\dagger) = (\det U)^\star \]\[ (\det U^\dagger)(\det U) = (\det U)^\star (\det U) = |\det U|^2 = \det(U^\dagger \cdot U) = \det(I) = 1 \]

El caso más simple de grupo unitario es U(1). La multiplicación de matrices 1x1 es simplemente la multiplicación de números complejos, así que el grupo es abeliano. Además, como acabamos de ver, para que las matrices sean unitarias, el número complejo tiene módulo 1. Así que el grupo U(1) es el conjunto de los puntos en el plano que forman una circunferencia de radio 1.
\[U(1) = \{e^{i\theta}|\theta \in \mathbb{R}\}\]
Como ya hemos visto, las matrices de U(1) se pueden expresar como la exponencial imaginaria de una matriz hermítica (en dimensión 1, un número real)
\[e^{i\theta} = \exp(i\theta I) \]
A la matriz identidad \(I\) en dimensión 1 la llamaremos generador infinitesimal del grupo. El origen de este nombre es que, si tomamos un valor de \(\theta\) pequeño, \(d\theta\), la matriz de la transformación es
\[e^{id\theta} \approx I + id\theta I\]