Matrices densidad

La mecánica cuántica acepta muchos formalismos matemáticos diferentes, pero equivalentes. Cada cual tiene sus ventajas  e inconvenientes, dependiendo del tipo de situación que se esté estudiando. La formulación que presenta esta entrada se debe a von Neumann, y permite tratar fácilmente estados que no pueden ser descritos por una única función de ondas.

Para mayor simplicidad vamos a operar solamente con espacios vectoriales de dimensión 2 (para que las matrices no salgan demasiado grandes, pero puedes elegir la dimensión que te apetezca), como puede ser el espín de un electrón, la polarización de la luz, o un átomo restringido a su nivel fundamental y su primer excitado. La función de ondas correspondiente será: \[|\psi\rangle = a |+\rangle + b |-\rangle \qquad \langle \psi| = a^\star \langle +| + b^\star \langle -|\]
Con esta función de ondas, construiremos una matriz, a la que llamaremos matriz densidad (aunque no tenga nada que ver con la densidad) del siguiente modo: \[\rho = |\psi\rangle\langle \psi| = |a|^2 |+\rangle\langle +| + a b^\star |+\rangle\langle -| + a^\star b |-\rangle\langle +| + |b|^2 |-\rangle\langle -| = \begin{pmatrix} |a|^2 & ab^\star \\ a^\star b & |b|^2 \end{pmatrix}\]Esta matriz es hermítica \(\rho^\dagger = \rho\) y tiene traza igual a 1 \[\textrm{tr} \rho = \langle +|\rho |+\rangle + \langle -|\rho|-\rangle = |a|^2 + |b|^2 = 1\]Además, es un proyector, lo que significa que\[\rho^2 = |\psi\rangle\langle\psi|\psi\rangle \langle\psi| = |\psi\rangle\langle\psi| = \rho\]

Las matrices densidad pueden hacer todo lo que hacen las funciones de onda. Por ejemplo, para calcular los valores esperados: \[\textrm{tr}(\rho A) = \langle +| \rho A|+\rangle + \langle -|\rho A|-\rangle = |a|^2 \langle +|A|+\rangle + |b|^2 \langle -|A|-\rangle = \langle \psi |A|\psi \rangle = \langle A \rangle \]
La evolución temporal de la matriz densidad se puede obtener aplicando la ecuación de Schrödinger:\[i\hbar \frac{d \rho}{dt} = i\hbar \left(\frac{d}{dt}|\psi\rangle\right)\langle \psi| + i\hbar|\psi\rangle \left(\frac{d}{dt}\langle\psi|\right) = H |\psi\rangle\langle \psi| - |\psi\rangle\langle \psi| H = [H, \rho]\]
Esta expresión se conoce como ecuación de von Neumann (no es más que un caso particular de la ecuación de Heisenberg para operadores que dependen del tiempo).

De momento, no hemos añadido nada que no estuviera en la formulación de Schrödinger, simplemente hemos reescrito todo de una forma un poco más aparatosa.

Estados mezcla

Ahora vayámonos al laboratorio. Tenemos una máquina especial para fabricar partículas en un estado \(|\psi\rangle\). Pero no tenemos mucho presupuesto, por lo que hemos tenido que comprarla en el mercadillo. Y falla más que una escopeta de feria: tiene una probabilidad \(p\) de producirnos el estado que queremos, y probabilidad \(1-p\) de producir otro estado \(|\chi\rangle\). Como no podemos devolver la máquina (al fin y al cabo, es del mercadillo), vamos a ver si podemos sacarle algún provecho.
Al darle al botón de la máquina, sale una partícula en el estado \(|\psi\rangle\) O el estado \(|\chi\rangle\), solo uno de esos dos, y no una superposición cuántica de los estados: tenemos una mezcla estadística. El problema es que, al salir la partícula de la máquina, no podemos ver de qué tipo es. No lleva un cartelito: la función de ondas no es observable. Así que, como no hay forma humana de saber, sin perturbarla, la función de ondas, nos vemos abocados a abandonar esta descripción.
Pero no está todo perdido. Si hacemos funcionar repetidamente nuestra desastrosa máquina, y las partículas producidas son medidas con un aparato \(A\), sí que sabemos los resultados que cabría esperar: el promedio de los valores esperados correspondientes a cada una de las funciones de onda posibles:\[\langle A \rangle = p \langle\psi|A|\psi\rangle + (1-p) \langle \chi|A|\chi\rangle\]Este resultado no se puede obtener con una función de ondas, pero sí con una matriz densidad dada por\[\rho = p |\psi\rangle\langle\psi| + (1-p)|\chi\rangle\langle\chi|\qquad \langle A \rangle = \textrm{tr}(\rho A)\]En general, si tenemos una mezcla estadística de las funciones \(|\psi_1\rangle ,\cdots, |\psi_n\rangle\) con probabilidades \(p_1,\cdots,p_n\) (con la suma de todas igual a uno), la matriz densidad correspondiente es \[\rho = \sum_n p_n |\psi_n\rangle \langle \psi_n|\]

Si solamente uno de los valores de \(p_n\) es uno y el resto cero, es decir, si se puede utilizar una función de onda, estaremos ante un estado puro. En caso contrario, será un estado mezcla. La potencia del formalismo de von Neumann es que trata en pie de igualdad estados puros y mezclas: siguen siendo válidas las expresiones para el valor esperado de los observables y la ecuación de von Neumann para la evolución de la matriz densidad.

Sin embargo, sí que hay una característica que permite distinguir estados puros y mezclas: en los estados puros, como hemos visto al principio, la matriz densidad es un proyector. En los estados mezcla, por el contrario, esto no ocurre nunca. Nunca. Esto nos permite construir magnitudes que nos informen de el grado de mezcla que tiene un estado:

• Pureza: \(P(\rho) = \textrm{tr}\rho^2\). Para un estado puro es 1, y para uno máximamente mezclado, \(1/d\) (donde \(d\) es la dimensión del espacio de Hilbert).
• Entropía de von Neumann: \(S(\rho) = -\textrm{tr}(\rho \log \rho)\). Vale 0 para un estado puro, y \(\log(d)\) para un estado máximamente mezclado.