jueves, 22 de enero de 2015

Sesión de spinning


¿Qúe es espín? - dices mientras clavas
 en mi espinor tu espinor \(|\uparrow\rangle\)
¿Qué es espín? ¿Y tú me lo preguntas?
Espín eres tú.




El espín es una propiedad fundamental de las partículas que no tiene un análogo en la mecánica clásica. Determina cómo reaccionan al estar sometida a un campo magnético, cómo se transforma bajo rotaciones o qué estados de múltiples partículas están permitidos.
Antes de meternos en faena con el espín, volvemos un momento con el momento angular. Vimos que para identificar los autoestados del operador momento necesitábamos especificar dos números cuánticos, \(j\) y \(m_j\), y al segundo lo bautizamos como número cuántico magnético. Sin embargo, no mencionamos la relación que tiene con el magnetismo.
Pongámonos en el caso clásico. Una carga que describa una circunferencia de radio \(r\) con velocidad constante (en módulo) \(v\) tendrá un momento angular \(L = r m v\). Y al estar cargada, también origina una corriente \(I = \frac{q}{2\pi r/v}\). Una corriente que circula por una espira cerrada de superficie \(S\) da lugar a un dipolo magnético, cuyo momento dipolar es \[\mu = I S = \frac{qv}{2\pi r}\pi r^2 = \frac{1}{2}qvr = \frac{q}{2m} L\]Los módulos del momento angular y el dipolar son proporcionales, y ambos vectores son perpendiculares a la órbita seguida por la partícula cargada. El momento dipolar magnético, entre otras cosas, determina la energía que tiene un dipolo al estar sometido a un campo magnético \(E = - \vec{\mu}\cdot\vec{B}\)

Pasemos al mundo cuántico, y definamos la dirección del eje Z como la que sigue el campo magnético. Por lo tanto, el hamiltoniano de nuestra partícula es \[H = - \vec{J}\cdot\vec{B} = - \mu_z B = - \frac{q}{2m} B J_z = - \frac{q \hbar}{2m} m_j B \]. La cuantización de los autoestados del momento angular implica inmediatamente la cuantización de los momentos dipolares magnéticos, y por tanto, de los niveles de energía. En particular aparecerán \(2j+1\) niveles, uno por cada valor que tome \(m_j\). Este efecto se conocía experimentalmente, ya que al realizar ele espectro de una sustancia mientras se le aplicaba un campo magnético, se observaba que había un desdoblamiento de las líneas espectrales. Sin embargo, sucedía algo muy perturbador: en algunas transiciones se generaba un número impar de líneas, como cabía esperar, pero en otras había un número par de líneas. Tradicionalmente se llama al primer caso "efecto Zeeman normal" y al segundo "efecto Zeeman anómalo".

Otro experimento determinante fue el que hicieron Stern y Gerlach. En vez de utilizar un campo magnético constante, emplearon uno que variaba con la distancia. Por lo tanto, sobre las partículas aparecía una fuerza que las deflectaba: \[\vec{F} = - \vec{\nabla} E = \mu_z \vec{\nabla}B\] De nuevo la cuantización del momento angular implica la cuantización de las fuerzas que pueden sufrir las partículas cargadas.

Stern y Gerlach emplearon átomos de plata, que ionizaban al calentarlas en un horno. Estos átomos los lanaban hacia un imán que producía un campo inhomogéneo, que los deflectaba en función de su momento dipolar magnético. Detrás colocaban una pantalla en la que las partículas dejaban una marca al ser absorbidas. Stern y Gelach esperaban ver que las marcas se agruparan en torno a un número impar de líneas, correspondientes con los valores del momento angular. Sin embargo, cuál fue su sorpresa al ver que solo aparecían dos líneas. Parecía que el momento dipolar fuera proporcional a un operador \(S_z\) con dos autovalores.
Fotografía de los resultados originales obtenidos con el campo magnético apagado (izquierda) y encendido (derecha).
No contentos con esto, Stern y Gerlach probaron a colocar dos de sus dispositivos experimentales en serie, de modo que en el segundo solo pudieran entrar los átomos que hubiesen sido deflectados en una de las direcciones. En primer lugar utilizaron los dos campos paralelos, y en ese caso obtivieron una única línea. Esto era de esperar: el estado tras la primera medición había colapsado a un autoestado de \(S_z\), por lo que al volver a medir con \(S_z\), por lo que no se produce un nuevo colapso. \[S_z|\uparrow\rangle = \frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle\qquad S_z|\downarrow\rangle = \frac{-\hbar}{2}|\downarrow\rangle\]También probaron a colocar los dos campos magnéticos perpendiculares, y en este caso sí que aparecían dos líneas. El primer aparato colapsa los estados en autoestados de \(S_z\), y el segundo los hace colapsar en autoestados de \(S_x\) o \(S_y\). El resultado de la medición indicaba que \(S_z\), \(S_y\) y \(S_z\) no tenían autoestados comunes, por lo que no conmutan entre sí. En concreto, las relaciones de conmutación que se deducían de los experimentos eran \[[S_x, S_y] = i \hbar S_z \qquad [S_y, S_z] = i\hbar S_x \qquad [S_z, S_x] = i \hbar S_y\]

¿Una magnitud que se comporta como un momento angular para determinar el momento magnético y que sigue el mismo álgebra de Lie que el momento angular, pero que tiene un número par de autovalores? En efecto, eso es el espín. Y sí, hay que girar las partículas de espín 1/2 un ángulo de \(4\pi) (2 vueltas completas) para devolverlas a su posición original, lo cual ha sido comprobado experimentalmente.

Pauli realizó un modelo fenomenológico de la interacción del espín con el campo magnético: reproducía los resultados obtenidos, pero no presentaba ninguna justificación para ello. El hamiltoniano que proponía era:\[H = \left[\left(-i\hbar \vec{\nabla} - \frac{e}{c}\vec{A}\right) - \frac{e\hbar}{c}\vec{\sigma}\cdot\vec{B} + e A_0\right]\]Como aparecen las matrices de Pauli (que, por cierto, este es su origen), las funciones de onda tendrán que formar un vector de dos componentes, o espinor. \[\psi = \varphi(\vec{r})|\uparrow\rangle + \chi(\vec{r})|\downarrow\rangle \]
Imagen de @RadiactivoMan, partícula de Flip Tanedo

El término espín fue acuñado por Uhlenbeck y Goudsmith, que consideraron que el efecto se debía a un electrón girando sobre su propio eje (spinning). Sin embargo, Pauli rechazó la idea inmediatamente, ya que para conseguir tal momento angular, su superficie debería moverse a velocidades muchísimo mayores de la luz. A pesar de esto, el término se ha conservado.

La explicación al origen del espín lo dio Dirac con su ecuación, y es por tanto un efecto relativista. Para obtener la ecuación de Dirac en presencia de un campo electromagnético, la técnica empleada es la misma que ya usamos en el caso de la ecuación de Schrödinger: forzar la invariancia de la ecuación bajo transformaciones gauge U(1) locales: \[\left(i\hbar\not\!\partial -\frac{e}{c}\not\!\!A-mc\right)\psi = 0\] Tomando el límite de bajas energías, los dos espinores que forman el biespinor se pueden tratar por separado, y para ellos resulta que la ecuación se convierte en la de Pauli, pero sin tener que incluir nada "a mano".

Para saber más

Enrique F. Borja: El espín, la explicación incompleta no definitiva. Cuentos Cuánticos
Francisco R. Villatoro: Nota dominical: Qué es el espín de una partícula. La ciencia de la mula Francis
Brian Dorney: Angular Momentum in Quantum Mechanics: Spin Indepth. Quantum diaries