Al otro lado del espejo

En este blog hemos hablado de simetrías continuas, que se pueden ir haciendo poco a poco, como las traslaciones, las rotaciones, o las transformaciones gauge. Pero también existen transformaciones discretas, que nos relacionan un conjunto finito de estados sin posibilidad de pasos intermedios. En física, las más importantes son la inversión de carga (\(C\)), la paridad espacial (\(P\)) y la inversión temporal (\(T\)). Su importancia radica en que la teoría cuántica de campos demuestra que la acción conjunta de estas tres transformaciones \(CPT\) es una simetría exacta de la naturaleza.

La paridad espacial transforma las coordenadas de un punto en su imagen especular, \(P\vec{r} = - \vec{r}\). Dado que al aplicar dos veces la transformación se vuelve al punto inicial \(P^2 = I\), el operador paridad tiene los autovalores \(\pm 1\).
Las magnitudes vectoriales que tienen el autovalor de la paridad -1, como la posición, se denominan vectores polares. Otros ejemplos de vectores polares son la velocidad, el momento lineal o el campo eléctrico.
También hay magnitudes vectoriales con paridad +1, es decir, que no cambian al reflejar las coordenadas espaciales, los llamados vectores axiales. Algunos ejemplos son el momento angular, el espín y el campo magnético. Se forman como el producto vectorial de dos vectores polares \[P\vec{J}= P \vec{r}\times\vec{p} = (-\vec{r})\times(-\vec{p}) = \vec{r}\times\vec{p} = \vec{J}\]

A partir de los vectores podemos construir, mediante el producto escalar, magnitudes invariantes bajo rotaciones. Si son el producto de dos vectores polares, o de dos vectores axiales, no cambiarán de signo al aplicarles la paridad. Estos objetos se conocen como escalares. Por el contrario, el producto de un vector axial y un vector polar cambia de signo bajo paridad, es un pseudoescalar.

¿De izquierdas o de derechas?

Las interacciones electromagnéticas y fuertes están descritas por hamiltonianos que conmutan con el operador paridad. Esto significa que en este tipo de procesos, las funciones de onda de las partículas tienen paridad definida, y que esta es una cantidad conservada. En los estados de paridad definida, el valor esperado de cualquier pseudoescalar es nulo.
En los años 50, se pensaba que la interacción débil también conservaba la paridad, aunque no había constancia experimental de ello, como notaron Lee y Yang. La cuestión la suscitó la existencia de dos partículas distintas (o eso se creía entonces, ahora son simplemente kaones), conocidas como \(\theta\) y \(\tau\), con idénticas masas y periodos de desintegración, pero que se desintegraban débilmente a estados de distinta paridad. Block y Feynman propusieron que podía tratarse de la misma partícula, con lo cual se violaría la paridad. Lee y Yang, conscientes de que no había ninguna evidencia de la conservación de la paridad, diseñaron un experimento para comprobarlo.

El experimento, realizado por Chien-Shiung Wu, zanjó la cuestión en 1956. En este famoso experimento, se usó una muestra de ⁶⁰Co, que sufre desintegración beta. Los espines de los núcleos de cobalto se alinearon usando intensos campos magnéticos a muy bajas temperaturas. El resultado no podía haber sido más inesperado: prácticamente todos los electrones liberados iban en dirección opuesta al espín de los núcleos \(\langle \vec{p}_e \cdot \vec{S}_{Co} \rangle \approx p_e S_{Co}\). Pero \(\vec{p}_e \cdot \vec{S}_{Co}\) es un pseudoescalar, por lo que el hecho de que su valor esperado no sea nulo es una clara indicación de que no se conserva la paridad: si Alicia, en sus aventuras al otro lado del espejo, hubiera hecho el mismo experimento, habría tenido que invertir el momento de los electrones pero dejando igual el espín de los núcleos, por lo que los electrones habrían ido en la dirección del espín: tenemos una forma de distinguir experimentalmente entre nuestro universo y el de Alicia. [Lee y Yang ganaron el Nobel al año siguiente por la violación de la paridad, al parecer nadie se acordó de la pobre Wu.]

El año siguiente, dos nuevos resultados experimentales dejaron patente la violación de la simetría de paridad. Ambos consistían en determinar la helicidad de partículas.
El espín es una magnitud vectorial, y dado que sus componentes no conmutan entre sí, solo podemos referirnos a una de ellas, normalmente la del eje Z. Sin embargo, esto es solo una convención, las partículas ni saben cuál es el eje Z ni les importa lo más mínimo. Lo natural sería, pues, tomar una dirección para el espín relevante para la partícula, como la dirección del momento lineal. Eso precisamente es la helicidad: \[h = \frac{1}{p}\vec{S}\cdot\vec{p}\] Como véis, de nuevo estamos jugando con una magnitud pseudoescalar. Un último detalle que hay que tener en cuenta es que, si la partícula tiene masa, la helicidad es una propiedad relativa: solo hay que acelerar y adelantar a la partícula para que su momento apunte en la dirección opuesta sin cambiar su espín. Si, por el contrario, la partícula irá a la velocidad de la luz, con lo que siempre la veremos venir en la misma dirección, y su helicidad será una característica. A una partícula con helicidad positiva (el espín va en el sentido del momento lineal) la llamaremos dextrógira, o diestra para los amigos. Como supondréis, a una partícula con helicidad negativa la conoceremos como levógira, o zurda. Así que, haciendo recuento, por cada fermión tenemos una partícula diestra, una partícula zurda, una antipartícula diestra y una antipartícula zurda, que caben perfectamente en la cuatro suites del hotel biespinor de Dirac.
Si el universo fuera simétrico, como la helicidad es un pseudoescalar, las partículas diestras y zurdas serían totalmente equivalentes. Sin embargo, en 1957 Frauenfelder descubrió que los electrones zurdos eran mucho más frecuentes que los diestros: en concreto, si hay \(N_D\) electrones diestros con velocidad \(v\) y \(N_L\) electrones zurdos, la proporción encontrada fue \[P = \frac{N_D - N_L}{N_D + N_L} = -\frac{v}{c}\]Para los positrones, siempre llevando la contraria, ocurría que \[P = \frac{N_D - N_L}{N_D + N_L} = +\frac{v}{c}\]Ese mismo año, Goldhaber estudió la helicidad de los neutrinos (recuerda que, como apenas tienen masa, \(v \approx c\)), y se encontró con que los neutrinos son siempre zurdos (\(P=-1\)) y los antineutrinos siempre diestros (\(P=+1\)). ¿A dónde han ido el resto de partículas?

¿Más fuerzas? No, gracias

El modelo estándar es una teoría quiral, que es un eufemismo para decir que es discriminatoria. Y es que no trata por igual a los fermiones zurdos y disestros.
Los fermiones zurdos van siempre por parejitas, electrónlike-neutrino, quark uplike-quark downlike. Matemáticamente, lo de ir en parejitas significa formar una representación fundamental de SU(2), por lo que les podemos asociar dos números cuánticos \(T_w, T_3\) que, en un rapto de originalidad, denomiaremos isospín débil: los fermiones zurdos son dobletes de isospín débil, \(T_w = 1/2\). Por el contrario, los fermiones diestros están solos, lo que viene a ser el singlete de isospín \(T_w = 0\). Además, todas las partículas, independientemente de ser diestras o zurdas, reciben otro número cuántico relacionado con una simetría U(1), a la que, en un día de inspiración superlativa, decidimos llamar hipercarga débil, \(Y_w\).

Ya tenemos unas simetrías, como siempre, globales. Pero deben ser locales, lo que nos fuerza (jeje) a incluir los correspondientes campos gauge. En el caso de la simetría U(1), matemáticamente la situación es análoga al electromagnetismo: tenemos un bosón sin masa, sin hipercarga débil y sin isospín débil, que se acopla a las partículas con hipercarga (es decir, todas) con una constante de acoplamiento  \(g'\): es el bosón \(B^0\). Por la parte del grupo SU(2), aparecen tres bosones sin masa, sin hipercarga débil, pertenecientes a un triplete de isospín débil \(T_w = 1\), \(T_3 = -1, 0, +1\), que se acoplan con las partículas con isospín (es decir, zurdas) con constante de acoplamiento \(g\neq g'\). A estos tres bosones los llamaremos \(W^-\), \(W^0\) y \(W^+\).

Esta simetría U(1)\(\times\)SU(2) da lugar a la interacción electrodébil.
- ¡Alto ahí! ¿Cómo que electrodébil? ¿No habíamos quedado en que el electromagnetismo y la débil eran dos fuerzas elementales distintas? ¿Y quiénes son esos tipejos llamados B0 y W0, y qué han hecho con nuestros queridos fotones y Z0?

La interacción electrodébil es la manifestación más fundamental - al menos en el modelo estándar - de los fenómenos electromagnéticos y débiles. Sin embargo, los apreciamos tan diferentes (a no ser que tengas en casa un colisionador de partículas de unos cuantos kilómetros de radio) porque, a bajas energías, la simetría ¡está rota! Ya no funciona. Entre otras cosas, eso significa que los bosones \(B^0\) y \(W^0\) ya no son independientes, sino que ahora están mezclados, según un cierto ángulo (\(\theta_W\), ángulo de Weinberg), resultando en los bosones de toda la vida: \[\gamma = \cos \theta_W B^0 + \sin \theta_W W^0 \qquad Z^0 = \cos \theta_W W^0 - \sin\theta B^0\] De los nuevos bosones, el fotón no tiene masa y se acopla a una combinación de hipercarga débil e isospín débil a la que llamamos carga eléctrica \(Q = Y_W + T_3\). Como las partículas neutras, como el neutrino, no lo ven, nos permite calcular el ángulo de Weinberg en función de los acoplos de las fuerzas:\[F_\nu \sim Y_w(\nu) \cos\theta_W g' + T_3(\nu) \sin \theta_W g = 0 \qquad \tan \theta_W = \frac{g'}{g}\]

Ahora sólo queda un par de preguntas: ¿qué es lo que hace que el electromagnetismo y la débil, a bajas energías, sean tan diferentes?¿Cómo ha aparecido, de repente, la masa de los bosones? Como el post ya va quedando largo, y la respuesta merece ser explicada con detenimiento, tendréis que esperar para conocer al culpable...

Para saber más...

Enrique F. Borja: Papá, ¿qué son las simetrías C, P, T?, La materia a través del espejo. Cuentos cuánticos
Laura Morrón: Chien-Shiung Wu, la gran física experimental II: A través del espejo. Los mundos de brana
José M. Morales: El lado débil de la física (II): Rompiendo la paridad. El zombi de Schrödinger
Flip Tanedo: Helicity, chirality, mass and the Higgs, Quantum diaries

Nota: La protagonista de este post es la injustamente olvidada Chien-Shiung Wu. Por ello, esta entrada participa en la LX edición del Carnaval de Física, albergado por ZTF News, dedicado a Mujeres en la Física.