¡Al colisionador!

El primer colisionador de partículas, según SMBC

En las últimas decenas de años (¿o quizá desde mucho antes?) la mayor parte del conocimiento sobre las partículas subatómicas ha venido de lanzar unas contra otras a energías cada vez mayores, y viendo lo que aparece después. Como niños que lanzan un juguete contra el suelo y lo aporrean para ver las piezas que lo forman. Lo primero que hay que tener en cuenta es que las partículas en un colisionador van a velocidades muy grandes. Casi casi casi a la velocidad de la luz. Así que, no queda otra, hay que usar las reglas del juego de la relatividad: Tenemos partículas con una cierta masa \(M\) y momento lineal \(p\), con lo cual tienen una energía \[E = \sqrt{(Mc^2)^2 + (pc)^2}\] y velocidad \[v = \beta c = \frac{pc}{E} c\]


Uno de los ejemplos más sencillos es la colisión de dos partículas, 1 y 2, que dan lugar a otras dos partículas distintas, 3 y 4:

La energía y el momento lineal de todo el sistema de partículas se conserva, \[E_1 + E_2 = E_3 + E_4 \qquad \vec{p}_1+\vec{p}_2 = \vec{p}_3 + \vec{p}_4\]Además, sabemos que todos los sistemas de referencia son igualmente válidos (aunque algunos nos resultarán más cómodos que otros, por ejemplo: el sistema centro de momentos, CM, en el que el momento total es cero, o el sistema laboratorio, en el que una de las partículas está en reposo). Así que ni la energía ni el momento son magnitudes invariables (la masa sí).  Para cuantificar la energía liberada en una colisión, necesitaremos magnitudes independientes del sistema de referencia: las variables de Mandelstam \(s\), \(t\) y \(u\). La más popular es \(s\), que corresponde con el cuadrado de la energía total en el sistema centro de momentos:\[s = (E_1+E_2)^2-|c\vec{p}_1 + c\vec{p}_2|^2 = (E_3 + E_4)^2 - |c\vec{p}_3 + c\vec{p}_4|^2\]Si lees en las noticias que van a reabrir el LHC con colisiones a 13 Tev, el dato que están dando es el valor de \(\sqrt{s}\).

Ya sabemos qué partículas tenemos y con qué energías las lanzamos. ¿Qué podemos esperar como resultado? Veámoslo con un ejemplo sencillo: una colisión contra blanco fijo. Lanzaremos un haz de partículas de proyectil contra un blanco (esta era la técnica utilizada en un principio. Sin embargo, ahora se hacen colisionar dos haces en direcciones opuestas, ya que con la misma energía se pueden obtener valores de \(s\) mucho mayores).
El haz de proyectiles lo caracterizamos mediante su flujo \(\Phi\), que es el número de partículas que atraviesan una superficie perpendicular al haz por unidad de tiempo. La propiedad que nos interesa del blanco es el número de centros dispersores \(N\) (átomos, núcleos, electrones,...) con los que va a interaccionar. Como resultado, se producirá un cierto número de colisiones por unidad de tiempo \(R\) (ritmo). El ritmo, lógicamente, aumenta tanto al aumentar el flujo incidente como el número de centros dispersores. Así que podemos escribir \[R = \sigma \Phi N\] Básicamente nos hemos ocupado de cuántas partículas pueden colisionar, pero no cómo lo hacen. El factor de proporcionalidad \(\sigma\) determina la probabilidad de que se produzca la colisión, y es donde está toda la chicha desde el punto de vista físico, es lo que codifica los detalles de la interacción entre las partículas. Cabe destacar que para que la expresión anterior sea dimensionalmente correcta, \(\sigma\) debe ser un área. Por ello, recibe el nombre de sección eficaz.

Si te choca el hecho de medir una probabilidad como un área, examinemos el caso de una colisión (clásica) contra un objeto duro. Incidimos con un haz, de sección transversal \(S\), de partículas puntuales. El objeto presentará una cierta superficie \(\sigma\) en la dirección en la que va el haz. Las partículas que se encuentren dentro de ese área chocarán contra el objeto, las demás no. Así que la probabilidad de colisión es \(\sigma/S\). En el mundo cuántico las colisiones son algo más complicadas, y no es posible asociar la sección eficaz a propiedades geométricas del blanco. Pero la interpretación de sección eficaz como probabilidad sigue siendo la misma.

Como andamos trasteando con la cuántica, las dimensiones relevantes son muy pequeñas. Así que resulta poco práctico usar unidades como el metro cuadrado o el centímetro cuadrado (de unidades más exóticas como el campo de fútbol, mejor ni hablamos). Como unidad se utiliza el barn (b), equivalente a 10^-28 m². El barn es la sección eficaz típica para reacciones nucleares. El nombre de la unidad (que en inglés significa granero) viene de la época del proyecto Manhattan, cuando la investigación nuclear era alto secreto, y el empleo de una unidad y un nombre tan abstrusos podían servir como medida de seguridad en caso de que la investigación cayera en malas manos. Tras la guerra, el término se popularizó, y actualmente está totalmente estandarizado y aceptado oficialmente. Aunque el barn sea idóneo en física nuclear, en física de partículas es una unidad muy grande, ya que se pueden medir secciones eficaces del orden del femtobarn (1 fb = 10^-15 b = 10^-33 m²).

Calcular la sección eficaz para un determinado proceso es todo un arte. Pero podemos hacernos una idea de cómo depende. En primer lugar, es lógico pensar que cuanto más intensa sea la interacción, mayor probabilidad hay de que ocurra:
La interacción vendrá descrita por un hamiltoniano \(H\). Si el estado antes de la colisión tiene función de onda \(|i\rangle\), y el estado tras la colisión es \(|f\rangle\), se define el elemento de matriz como \[M_{fi} = \langle f | H | i \rangle\]De acuerdo con la regla de oro de Fermi, la sección eficaz es proporcional a \(|M_{if}|^2\). Aquí está la importancia de las secciones eficaces, ya que nos permiten calcular el hamiltoniano de las interacciones.
El estado inicial lo conocemos, ya que para eso hemos preparado el experimento. Pero, ¿y el estado final? Si el detector utilizado puede distinguir entre las distintas interacciones, se puede separar la sección eficaz en distintas contribuciones (se habla, por ejemplo, de sección eficaz elástica, de efecto fotoeléctrico, de fisión,...). Cada sección eficaz corresponderá a un conjunto de estados posibles (por supuesto, respetando siempre las leyes de conservación): cuantos más estados haya disponibles, la probabilidad de colisión será mayor. Es lo que se conoce como espacio de fases. Tanto el elemento de matriz como el espacio de fases dependen, de forma bastante complicada (y peculiar para cada interacción) de la energía de las partículas incidentes.

Para que no creais que me estoy escaqueando, os pongo la sección eficaz de una colisión de dos partículas que dan lugar a otras dos, expresada en el sistema de referencia de centro de momentos:\[\sigma = \left(\frac{\hbar c}{8\pi}\right)^2\frac{p_1}{p_3 E^2} \int |M_{fi}|^2 \sin\theta d\theta d\varphi\]

Conocidas las magnitudes fundamentales en un colisionador, podemos definir otras usadas frecuentemente:
El recorrido libre medio: Al propagarse por el blanco, el haz va perdiendo partículas porque colisionan. El flujo tras recorrer una distancia \(x\) es \[\Phi(x) = \Phi(0) e^{-x/\lambda}\]El recorrido libre medio depende de la sección eficaz del proceso y de la densidad de centros dispersores \(n\) (número de centros por unidad de volumen) \[\lambda = \frac{1}{n\sigma}\]Al inverso de esta magnitud a veces se le da el nombre de seccioón eficaz macroscópica.

La luminosidad: En el ritmo de colisión entre partículas, hay un factor, la sección eficaz, que depende de los detalles de la interacción que se produzca, mientras que el resto dependen únicamente de la preparación del experimento, y son los que se pueden modificar externamente. Estos términos se agrupan en la luminosidad \(L\):\[R = \sigma L \qquad L = \Phi N \]Antes de su parada, el LHC trabajaba con una luminosidad de 0.7·10³⁴ cm^-2s^-2. Con la puesta en marcha de finales de marzo, los haces se van a lanzar con menor separación temporal, por lo que la luminosidad aumentará hasta 1.4·10³⁴ cm^-2s^-2

La luminosidad integrada: Supone una medida del número de colisiones producidas en un periodo de tiempo \[L_{int} = \int L dt\]Por ejemplo, el LHC durante su primera tanda (hasta 2012, con \(\sqrt{s}=\) 8 TeV) poporcionó una luminosidad integrada de unos 25 fb^-1, y está previsto que la segunda tanda (hasta 2018) se recopilen 150 fb^-1.

Para saber más

Francisco R. Villatoro:  El arranque del Run II del LHC en el CERN. La ciencia de la mula Francis