La evolución de la cuántica

Pues sí, hoy voy a hablar de evolución. Pero no de la evolución biológica (quizá en otro momento) ni siquiera de la evolución de los pokémon... Voy a hablar de una evolución más entretenida: la de las funciones de onda.

Como ya sabemos, la función de onda es el medio empleado para describir una partícula cuántica. La función de ondas va cambiando con el tiempo en función del potencial que sufra, tal y como dicta la ecuación de Schrödinger. Precisamente esa evolución con el tiempo es lo que nos va a interesar.

Las funciones de onda forman un espacio vectorial, y la ecuación de Schrödinger es lineal. Por lo tanto, las funciones de onda en dos tiempos distintos estarán relacionadas por un operador lineal \(U(t, t')\), al que vamos a llamar operador de evolución temporal: \[\psi(t') = U(t', t) \psi(t)\]

¿Qué sabemos de este operador? Pues unas cuantas cosas: en primer lugar, si no dejamos pasar el tiempo, la función no cambia, por lo que \(U(t,t) = 1\). También que el producto de dos bichos de estos es otro operador de evolución: \[\psi(t_2) = U(t_2, t_1) \psi(t_1) = U(t_2, t_1) U (t_1, t_0) \psi(t_0) = U(t_2, t_0) \psi(t_0)\]\[ U(t_2, t_0) = U(t_2, t_1) U (t_1, t_0) \]Si sabemos cómo avanzar en el tiempo (de forma determinista y unívoca, no lo olvidemos) también podremos dar marcha atrás y calcular la inversa de la evolución:\[\psi(t_0) = U(t_0, t_1) U(t_1, t_0) \psi(t_0) \qquad U(t_0, t_1) = U^{-1}(t_1, t_0)\]Con lo que hemos visto hasta ahora, ya podemos afirmar que los operadores de evolución forman un grupo. El último punto que nos queda por ver es cómo está relacionado con la ecuación de Schrödinger: \[i\hbar \frac{d}{dt}\psi(t) = i\hbar\frac{d}{dt}U(t)\psi(0) = H\psi(t) = HU(t)\psi(0)\]\[i\hbar \frac{d}{dt}U = HU\]

Si tomamos el adjunto de la expresión anterior \[-i\hbar\frac{d}{dt}U^\dagger = U^\dagger H\]La ecuación que sigue la inversa la podemos obtener derivando \(U^{-1}U\):\[i\hbar\frac{d}{dt}(U^{-1}U) = 0 = i\hbar\left(\frac{d}{dt}U^{-1}\right)U + i\hbar U^{-1}\left(\frac{d}{dt}U\right)\]\[-i\hbar\left(\frac{d}{dt}U^{-1}\right)U = i\hbar U^{-1}\left(\frac{d}{dt}U\right) = U^{-1}HU\]\[-i\hbar\frac{d}{dt}U^{-1} = U^{-1} H\] Como se ve, \(U^\dagger\) y \(U^{-1}\) siguen la misma ecuación diferencial. Además, como tienen las mismas condiciones de contorno (para \(U(0) = 1\), \(U^\dagger(0) = U^{-1}(0) = 1\)), se concluye que \(U^\dagger(t) = U^{-1}(t)\): La evolución temporal es un grupo unitario.

Ya tenemos todos los ingredientes. Ahora solo falta combinarlos para calcular la forma del operador evolución. La ecuación que hay que resolver es formalmente análoga, sustituyendo los operadores por números, a la ecuación diferencial \[i\hbar \frac{d}{dt}x = kx \qquad\qquad x(t) = e^{-i kt/\hbar}\]Si el hamiltoniano no depende del tiempo, la solución a la ecuación con operadores es la misma que en el caso de números:\[U(t) = e^{-iHt/\hbar} \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{(-it/\hbar)^n}{n!} H^n\]Ahora bien, si el hamiltoniano depende del tiempo, hay que llevar cuidado (las situaciones con hamiltonianos dependientes del tiempo son muy comunes, por ejemplo para describir un electrón en un campo electromagnético). En el caso de los números, la solución sería \[x(t) = exp\left(-i\int_0^t k(s) ds /\hbar\right) \]Pero en el caso de vérselas con operadores, estos en general no conmutan, por lo que el orden en el que se realizan las operaciones en el desarrollo en serie es muy importante. El resultado es: \[U(t) = \mathcal{T}\exp \left(-i\int_0^t H(s) ds/\hbar\right) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i/\hbar)^n}{n!}\int_{0}^t \cdots \int_{0}^t \mathcal{T} H(t_1)\cdots H(t_n) d t_1 \cdots d t_n\]Donde \(\mathcal{T}\) es el operador de orden temporal, que obliga a que los operadores de tiempos menores sean los que primero actúen (y por tanto se escriben al final): \[\mathcal{T} A(t) B(t') = \left\{\begin{array}{lcc} A(t) B(t') & \text{si} & t > t' \\ B(t')A(t) & \text{si} & t' > t\end{array} \right.\]

Mil imágenes valen más que una palabra

De izquierda a derecha: Dirac, Heisenberg y Schrödinger

Hasta ahora hemos empleado siempre la imagen de Schrödinger, en la que las funciones de onda evolucionan en el tiempo y los observables son constantes. Pero antes que Schrödinger, Heisenberg había elaborado otra imagen de la cuántica, en la que las funciones de onda son constantes, y lo que evoluciona son los observables. Empleando los operadores de evolución temporal, es posible alternar entre las dos descripciones:

Podemos definir la función de onda de Heisenberg como \[\psi_H = U^{-1}(t, 0) \psi_S(t) = \psi_S(0)\]Esta es la función de onda que correspondería al formalismo de Schrödinger, pero congelada en el tiempo. Las magnitudes que tienen sentido en cuántica son los valores esperados, por lo que ambas imágenes deberán obtener los mismos resultados. Esto permite determinar cómo serán los operadores de Heisenberg:\[\langle A\rangle = \langle \psi(t)|A_S|\psi(t)\rangle = \langle \psi(0) |U^\dagger(t,0) A_S U(t, 0)|\psi(0)\rangle = \langle \psi_H|A_H|\psi_H\rangle\]\[A_H(t) = U^{-1}(t,0) A_S U(t,0)\]Ahora los operadores evolucionan con el tiempo. Podemos calcular su derivada, con lo que obtendremos las ecuaciones del movimiento (que juegan el papel de la ecuación de Schrödinger):\[i\hbar\frac{d}{dt}A_H(t) = -U^{-1}HA_S U + U^{-1}A_S H U = A_H H - H A_H = [A_H, H]  \]

Comparémoslo con el resultado clásico: empleando los corchetes de Poisson, la evolución de una magnitud \(A\) está dada por\[\frac{d}{dt}A = \{A, H\}\]La única diferencia, a parte de los factores \(i\hbar\), ha sido reemplazar los corchetes de Poisson por conmutadores. Al fin y al cabo, la clásica y la cuántica no son tan diferentes... Veámoslo más explícitamente, con un hamiltoniano "típico" \(H= \frac{P^2}{2m} + V\): con él vamos a calcular la evolución de los operadores de posición y momento:\[\frac{d X}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}[X, P^2/2m] = \frac{P}{m}\qquad \frac{d P}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}[P, V(X)] = - \frac{d V}{dx}\]¿Os suenan a las clásicas leyes de Newton?. Recuerda que estamos jugando con operadores. Para hablar de cantidades experimentalmente accesibles, habremos de calcular el valor esperado. Así obtenemos el teorema de Ehrenfest:\[\frac{d}{dt}\langle X\rangle = \frac{\langle P\rangle}{m}\qquad \frac{d}{dt}\langle P \rangle = - \left\langle \frac{d V}{dx}\right\rangle\]Aunque pueda parecer igual al caso clásico, hay que tener cuidado: el "centro" de la partícula se mueve con un momento determinado no por la fuerza sobre ese centro, sino por el promedio de la fuerza a toda la partícula.

Entre Schrödinger y Heisenberg hay un enfoque intermedio: la imagen de Dirac o de interacción. Partimos de un hamiltoniano que se puede escribir como la suma de dos términos \(H = H_0 + H_1\). \(H_0\) es un hamiltoniano "sencillo", cuya solución conocemos (es decir, tenemos el operador de evolución \(U_0\) correspondiente a eliminar la otra parte). \(H_1\) se denomina interacción, y suele ser más complicado, de menor magnitud (perturbación) y muchas veces dependiente del tiempo.

Los estados y operadores en esta imagen se definen como:\[\psi_I(t) = U_0^{-1}(t,0)\psi_S(t) \qquad A_I(t) = U_0^{-1}(t,0) A_S U_0(t,0)\]Los operadores evolucionan siguiendo una ecuación de Heisenberg en la que solo aparece \(H_0\), por lo que no suponen ningún problema:\[i\hbar\frac{d}{dt}A_I = [A_I, H_0]\]Por su parte, los estados evolucionan según la ecuación de Schrödinger con el hamiltoniano de interacción en la imagen de interacción (ecuación de Schwinger-Tomonaga):\[i\hbar\frac{d}{dt}\psi_I(t) = H_{1I}(t) \psi_I(t) \]

Esta es la imagen más empleada para estudiar, por ejemplo, las colisiones y reacciones de partículas. La interacción se suele considerar como una perturbación, un término que modifica ligeramente las energías calculadas \(H_0\): de este modo se obtiene la regla de oro de Fermi, que se emplea para calcular la probabilidad de transición entre estados y magnitudes relacionadas.