Jugando en grupo: Lorentz

La relatividad especial es uno de los pilares fundamentales sobre los que se basa nuestro conocimiento actual de la física. Anteriormente ya hice una presentación bastante acelerada del ausunto, desde su motivación hasta las fórmulas más habituales. Ahora voy a centrarme más en los aspectos más matemáticos, cómo no, usando teoría de grupos.

El aspecto principal de la relatividad especial son los cambios de sistema de referencia o boosts. Un boost en una determinada dirección se caracteriza por la velocidad \(\beta\), y el correspondiente factor de Lorentz \(\gamma\). Las coordenadas de los dos sistemas de referencia están relacionadas mediante una transformación lineal, por lo que se puede expresar como una matriz: Para un boost en la dirección x \[\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \Lambda[\beta, x]\begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 &0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix}\]

Algo parecido si hacemos el boost en las direcciones y, z:

\[\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \Lambda[\beta, y]\begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma &  0 &\gamma\beta  & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ \gamma\beta & 0 &\gamma & 0  \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix}\]\[\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \Lambda[\beta, z]\begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 &\gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0  \\ 0 &0 &1 & 0\\ \gamma\beta & 0 & 0 &\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\y\\z\end{pmatrix}\]

En las matrices aparecen dos parámetros distintos, \(\gamma\) y \(\gamma\beta\), pero no son independientes entre sí, sino que están relacionados por \[(\gamma \beta)^2 - \gamma^2 = 1\]

Esta ecuación se puede parametrizar como \[\gamma\beta = \cosh \eta \qquad \gamma = \sinh \eta \qquad \eta = \frac{1}{2} \ln \frac{1+\beta}{1-\beta}\] Se conoce \(\eta\) como pseudorrapidez, que puede tomar valores entre \(-\infty\) (si \(\beta = -1\)) y \(\infty\) (cuando \(\beta = 1\)). Si se hacen dos transformaciones sucesivas en la misma dirección, sus pseudorrapideces se suman: \[\begin{pmatrix} \cosh \eta_1 & \sinh \eta_1 & 0 & 0 \\ \sinh \eta_1 & \cosh \eta_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cosh \eta_2 & \sinh \eta_2 & 0 & 0 \\ \sinh \eta_2 & \cosh \eta_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\]\[=\begin{pmatrix} \cosh (\eta_1+\eta_2) & \sinh (\eta_1+\eta_2) & 0 & 0 \\ \sinh (\eta_1+\eta_2) & \cosh (\eta_1+\eta_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Si por el contrario se suceden dos boosts en direcciones diferentes, el resultado es un boost más una rotación. La conclusión es que los boost no forman un grupo. Pero si consideramos boost y rotaciones, todas estas transformaciones sí son un grupo, conocido como grupo de Lorentz ortócrono propio (ortócrono significa que el elemento (0,0) es positivo, y propio que el determinante de la matriz es +1). El grupo de Lorentz lo forman estas matrices y sus productos con las matrices \(P\) y \(T\) (inversiones espaciales y temporales): \[P = \begin{pmatrix}1 &0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}\qquad T = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\]

Los generadores y su álgebra

Para conocer las intimidades de un grupo, tenemos que ver qué ocurre al hacer una transformación infinitesimal, \(\eta \ll 1\):\[\Lambda[\eta, x] \approx \begin{pmatrix}1 & \eta & 0 & 0\\ \eta & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix} = I -i\eta \begin{pmatrix}0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0\end{pmatrix} = I-i\eta K^1\]Los generadores infinitesimales para los boosts en las otras direcciones son\[K^2 = \begin{pmatrix} 0&0&i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \qquad K^3 = \begin{pmatrix}0&0&0&i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}\]A lo que hay que añadir los generadores infinitesimales de las rotaciones, ya conocidos:  \[J^1= \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}\qquad J^2 = \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&i\\0&0&0&0\\0&-i&0&0\end{pmatrix}\qquad J^3 = \begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]

La matriz para cualquier transformacion de Lorentz consistenete en boosts \(\vec{\eta}=(\eta_1, \eta_2, \eta_3)\) y rotaciones según los ejes con ángulos \(\vec{\theta}=(\theta_1, \theta_2, \theta_3)\), se construye como\[\Lambda = \exp(-i\vec{\theta}\cdot\vec{J} - i \vec{\eta}\cdot\vec{K})\]

Un detalle nada insignificante: los generadores de las rotaciones son hermíticos, pero los generadores de los boosts no lo son. Así que una transformación de Lorentz no será unitaria a no ser que sea una rotación pura. Esto se debe a que el parámetro de la transformación, \(\eta\), no está acotado.

Las entrañas del grupo se ven al calcular los conmutadores de sus generadores, lo que se conoce como álgebra de Lie:\[[J^k, J^l]=i \varepsilon_{klm}J^m \qquad [J^k, K^l]=i\varepsilon_{klm}K^m \qquad [K^k, K^l]=-i\varepsilon_{klm}J^m\]

donde \(\varepsilon_{klm}=1\) si \((k,l,m)=(1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)\), \(\varepsilon_{klm}=-1\) si \((k,l,m)=(1,3,2), (2,1,3), (3,2,1)\) y \(\varepsilon_{klm}=0\) en caso contrario.

Las relaciones de conmutación de las \(K\) involucran a las matrices \(J\), lo que nos vuelve a indicar que los boosts no son suficientes para formar un grupo.

Próximamente veremos cómo construir más representaciones (es decir, matrices de otros tamaños) de las transformaciones de Lorentz que cumplan las mismas relaciones de conmutación de sus generadores.