Cuerda para rato

Cuerdas, cuerdas por todas partes. Eso es lo que ven algunos físicos teóricos allá donde miran: diminutas cuerdas enrolladas en un número obsceno de dimensiones. Pero tranquilos, este post no pretende ser tan profundo. Voy a hablaros de las cuerdas de toda la vida, de las que podéis encontrar en un violín o en vuestro tendedero. No os engañéis, porque tirando del hilo (chiste malo) de una simple cuerda, vamos a llegar muy lejos.

Una cuerda es un objeto un poco complicado para empezar. Así que lo intentaremos con algo más simple: un conjunto de \(N\) partículas de masa \(m\) unidas, situadas a intervalos regulares \(a\) según el eje x (la longitud de la cuerda en reposo será \(l = N a\)), y que pueden moverse según el eje y. La situación sería esta:

Para resolver el movimiento de las partículas, lo más cómodo es usar el formalismo lagrangiano. La energía cinética de las se calcula como \[T = \sum_{j=1}^N \frac{1}{2} m (\dot{y}_j)^2\]

La energía potencial de cada uno de los segmentos entre partículas es \(F \delta l\), donde \(F\) es la fuerza aplicada, y \(\delta l\) la diferencia entre la longitud del segmento de la cuerda sin estirar y estirada: \[a + \delta l = \sqrt{a^2 + (y_{j+1} - y_j)^2} \approx a + \frac{(y_{j+1} - y_j)^2}{2 a}\]

Así pues, \[V = \frac{F}{2a}\sum_{j=0}^N (y_{j+1} - y_j)^2 \]Conociendo la energía cinética y potencial, ya lo tenemos todo para escribir el lagrangiano y la acción:\[L = T - V = \sum_{j=0}^N \frac{1}{2}m (\dot{y}_j)^2 - \frac{F}{2a} (y_{j+1} - y_j)^2 \]\[S = \int L dt = \int \left(\sum_{j=0}^N \frac{1}{2}m (\dot{y}_j)^2 - \frac{F}{2a} (y_{j+1} - y_j)^2 \right) dt\]

Recuerda que el objetivo para solucionar la dinámica del problema es encontrar el mínimo de esa cantidad \(S\), la acción.

Pasando al continuo

Pero una cuerda real son muchas de estas partículas unidas. Muchísimas. Si mantenemos la longitud de la cuerda \(l\) fija, al hacer \(N\) muy grande, tendremos \(a\) prácticamente cero. Así que podemos hacer el cambio \(a \to dx\). Las partículas las podemos identificar por su posición en el eje x, \(y_j \to y(x)\). Un detalle, aquí \(x\) no es una variable, sino una etiqueta, un índice, como lo era \(j\) en el caso discreto.

Si la cuerda tiene una densidad lineal \(\mu\), entonces un segmento de longitud \(dx\) tiene una masa \(\mu dx\). La energía cinética de este segmento será \(\frac{1}{2} \mu dx \dot{y}^2\). La energía cinética total se obtendría sumando las contribuciones de todas las partículas, pero estas están tan próximas que la suma se convierte en una integral: \[T = \int_0^l \frac{1}{2} \mu \dot{y}^2 dx\]

Para ver en qué nos queda la energía potencial, tenemos que saber cómo escribir la distancia entre dos puntos contiguos al hacer las partículas más y más próximas. Pero eso es sencillo empleando la definición de derivada:\[y' = \frac{y(x+dx) - y(x)}{dx} \approx \frac{y_{j+1}-y_j}{a}\]Con lo cual tenemos \[V = \int_0^l \frac{1}{2} F y'^2 dx\]

En total, el lagrangiano que hemos obtenido es \[L = T-V = \int_0^l \left(\frac{1}{2} \mu \dot{y}^2 - \frac{1}{2} F y'^2 \right) dx\]

Esto tiene toda la pinta de ser la densidad lineal de una magnitud integrada a toda la cuerda. A esta magnitud la llamaremos densidad lagrangiana \(\mathcal{L}\):

\[L = \int \mathcal{L} dx \qquad\qquad S = \int \mathcal{L} dx dt\]

Las ecuaciones del movimiento para la cuerda se obtienen, como siempre, buscando los mínimos de la acción. Así encontramos la ecuación de Euler-Lagrange:\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}= \partial_x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y'} + \partial_t \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\]

Si lo aplicamos con la densidad lagrangiana de la cuerda, obtenemos la ecuación de movimiento\[0 = \mu \ddot{y} - F y''\]

Esto es la ecuación para una onda que se propaga a lo largo de la cuerda con velocidad \(c = \sqrt{\frac{F}{\mu}}\)\[y(x) = y_0 \cos(kx - \omega t + \phi) \qquad\qquad kc = \omega\]

Esta solución es la que se obtendría en una cuerda infinita, simétrica bajo traslaciones. Sin embargo, las cuerdas de un violín tienen un inicio y un final, que rompen esta simetría. Como consecuencia, no todas las ondas están permitidas: solo aquéllas cuya longitud de onda \(\lambda = 2\pi/k\) sea un múltiplo semientero de la longitud de la cuerda \(L\) permiten que los extremos no vibren, y por lo tanto están permitidas. El sonido producido, caracterizado por su frecuencia \(\omega\), está determinado por la longitud de la cuerda (que no se puede modificar) y de la velocidad de propagación de la onda: por ello, para afinar un violín se emplean las clavijas, que modifican la tensión \(F\) aplicada sobre la cuerda, y por tanto, la velocidad de propagación y el sonido emitido.

La belleza de un concierto de violín

Puede parecer que la vibración de una cuerda de violín es algo bastante sencillo desde el punto de vista de la física. Sin embargo, para explicarlo hemos introducido unos cuantos conceptos bastante profundos, y que están en el corazón mismo de la física teórica más avanzada: el primero de ellos es el de campo: un campo es una magnitud que toma valores en los distintos puntos del espacio, en nuestro caso sería el estiramiento \(y(x)\). Los campos son las magnitudes dinámicas con las que se formula el modelo estándar, que es una teoría cuántica de campos (QFT). Las reglas del juego a la hora de emplear campos las impone la minimización de la acción, o lo que es lo mismo, las ecuaciones de Euler-Lagrange. Para ello se emplea la densidad lagrangiana (muchas veces llamada simplemente lagrangiano por brevedad). Un pequeño detalle que hay que recalcar es que en la acción escrita en términos de la densidad lagrangiana, el espacio y el tiempo entran en pie de igualdad en la integración: esto es importante si queremos crear una teoría que cumpla la relatividad especial, como es el caso de la QFT. Por último, hemos visto cómo una rotura de simetría ha generado una serie de niveles discretos.

Así que la próxima vez que escuchéis un concierto de Bach o de Vivaldi, además de admirar la belleza sobrecogedora de la composición, también podéis disfrutar de toda la física que estáis presenciando.

Nota: esta entrada está dedicada a una amiga física y violinista. Espero que le guste :)