sábado, 13 de junio de 2015

Otra vuelta de tuerca al espín

El espín es una propiedad fundamental de todas las partículas, y determina muchas de las propiedades de la materia, como la existencia de niveles electrónicos y enlaces químicos, y el magnetismo. Pero, ¿de dónde sale el espín?


La respuesta está en la relatividad especial, y en concreto en la existencia de distintas representaciones del grupo de Lorentz sobre campos.

Para ver por qué ocurre esto, vamos a utilizar un ejemplo sencillo. En primer lugar veremos un campo escalar, no relativista y que no está asociado a la física de partículas. Un campo mucho más cotidiano: la temperatura. A cada punto del espacio \(x\) le asociamos un valor de temperatura \(T(x)\). Por ejemplo, en el punto \(x_0\) marcado en rojo en el mapa tiene \(T(x_0) = 26\)ºC.
Bien, ¿qué pasa si ahora hacemos uuna rotación al espacio? Las coordenadas de los puntos cambiarán según \[\vec{x}\to \vec{x}' = R \vec{x}\]
¿Y la temperatura? Lógicamente, solo por girar el mapa no vamos a conseguir que en Murcia de repente haga el tiempo de Burgos. La temperatura va a "seguir" la rotación que hemos hecho:\[T(x) \to T'(x') = T(x) = T (R^{-1} x')\]
Eso significa que tras la rotación, \(T'(x_0) \neq 26\)ºC porque el punto \(x_0\) se ha movido. En su lugar tenemos \(T'(x_0') = 26\)ºC (en el mapa de abajo se ha marcado \(x_0\) en azul y \(x_0'\) en rojo).
Como conclusión, el campo \(T\) ha cambiado al hacer una rotación, debido únicamente al cambio en las coordenadas. Esta transformación está generada por una magnitud conocida como momento angular orbital.

Siguiendo con la analogía meteorológica, ahora vamos a ver lo que ocurre con el viento. A la hora de conocer el viento, es importante no solo saber su intensidad, también la dirección en la que sopla: el viento se describe por un campo vectorial, en el que a cada punto del espacio le asociamos un vector \(\vec{V}(\vec{x})\). Así, en el punto \(x_0\) el viento sopla a 8 m/s en dirección desde Zaragoza hacia Tarragona (línea verde).
¿Qué ocurre si giramos el espacio? De nuevo queremos que en Zaragoza siga soplando el mismo viento (nunca imaginé que diría esta frase...), así que el campo vectorial tendrá que modificarse para mover la flecha verde hasta su nueva ubicación, pero también rotarlo para que el vector siga apuntando hacia Tarragona: \[\vec{V}(\vec{x}) \to \vec{V}'(\vec{x}') = R \vec{V}(\vec{x})\]
Observa cómo ha cambiado el campo desde el punto \(x_0\) (ahora en rojo) hasta el punto \(x_0'\) (en verde). Ahora el campo \(\vec{V}\) ha sufrido dos transformaciones: una, debida al cambio en las coordenadas, que sigue estando generada por el momento angular orbital, y la otra debida a la mezcla de las distintas componentes del vector por su reorientación: esta última transformación está generada por el momento angular de espín.

En resumen, como los campos vectoriales pertenecen a una representación distinta, la transformación de Lorentz asociada es responsable del espín de las partículas. Un campo tiene espín \(j\) si las matrices de la representación tienen dimensión \(2j+1\): En los campos escalares el espín es 0, en los vectoriales 1, en los espinoriales 1/2, y en los tensores de rango 2 el espín es 2.

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