La idea más feliz de Einstein

Einstein había descubierto en 1905 la Relatividad Especial. De las dos fuerzas que se conocían en aquella época, el electromagnetismo era perfectamente compatible con la nueva teoría, no así la gravitación.Por un lado, se describía como una interacción a distancia (lo que ya dejó insatisfecho a Newton) desafiando el límite de la velocidad de la luz. Además la causa de la gravedad era la masa, que en relatividad especial no es más que una forma de energía.

El principio de equivalencia

Empecemos con una pequeña excursión histórica: hasta 1610 cuando Galileo Galilei descubrió que, dejando caer bolas por planos inclinados, éstas caían con aceleración constante, independientemente de su masa. En el siglo siguiente, Isaac Newton estableció las ecuaciones que rigen la dinámica de una partícula y la que determina su interacción gravitatoria. En la primera, la fuerza y la aceleración están relacionadas por una propiedad característica de cada cuerpo, su masa inercial \(m_I\).

\[\vec{F} = m_I \ddot{\vec{r}}\]

En la segunda, la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos está determinada por la magnitud de una propiedad de estos cuerpos, la masa gravitatoria \(m_G\) (análoga a la carga en la interacción electrostática):

\[\vec{F} = - G m_G^{(1)} m_G^{(2)} \frac{\vec{r}}{r^3}\]

Así que la aceleración de una partícula de masa inercial \(m_I^{(1)}\) y masa gravitatoria \(m_G^{(1)}\) es:

\[\ddot{\vec{r}} = \frac{m_G^{(1)}}{m_I^{(1)}}\left(- G m_G^{(2)} \frac{\vec{r}}{r^3} \right)\]

En esta expresión, el contenido del paréntesis es independiente de las características de la partícula de prueba. Para reproducir los resultados de Galileo, la aceleración también tiene que ser independiente de las características de la partícula, lo que se consigue si el cociente \(\frac{m_G^{(1)}}{m_I^{(1)}}\) es igual para todos los objetos. Eligiendo adecuadamente las dimensiones físicas para ambas magnitudes, se puede escribir como \(m_G = m_I \equiv m\), con lo que el término masa denota a las dos cantidades indistintamente. Este es el contenido del principio de equivalencia débil:

Todas las partículas en un punto del espaciotiempo con un campo gravitatorio sufren una misma aceleración, independientemente de sus propiedades incluyendo la masa.

El principio de equivalencia supuso el punto de partida para Albert Einstein a la hora de formular su teoría de la Relatividad General. Su momento de revelación vino tras hablar con un pintor que acababa de caer de un andamio, que le dijo que por un instante en la caída se había sentido ingrávido. Ya en un artículo de 1907 establecía que los observadores en caída libre pueden aplicar la relatividad especial (en un entorno local). Además de la gravedad, las otras ocasiones en las que se encuentran "fuerzas" proporcionales a la masa es al utilizar un sistema de referencia no inercial, ya que hay que sumar la aceleración del sistema no inercial respecto del inercial (como la fuerza centrífuga o la de Coriolis). La "idea más feliz de su vida" ("der glücklichste Gedanke meines Lebens") de Einstein fue suponer que la gravedad es una fuerza de inercia que hay que añadir al considerar un sistema de referencia diferente al de la caída libre. Mientras que en el sistema en caída libre las trayectorias de las partículas son rectas, en otros sistemas son curvas (geodésicas) ya que la métrica es distinta a la de Minkowski. Esto le llevó a formular el principio de equivalencia de Einstein:

En regiones del espaciotiempo lo suficientemente pequeñas las leyes de la física (exceptuando la gravitación) se reducen a las de la relatividad especial; es imposible detectar la existencia de un campo gravitacional.

El principio de equivalencia se suele ilustrar con el ascensor de Einstein: un astronauta encerrado en un ascensor es incapaz de discernir si este está cayendo en un campo gravitatorio \(\vec{g}\) o acelerando hacia arriba con aceleración \(\vec{g}\). En ambos casos verá caer cualquier objeto que lleve consigo del mismo modo. Por supuesto, si el ascensor es suficientemente grande, en el caso de un campo gravitatorio inhomogéneo (como el de la Tierra) verá que los objetos sufren distintas aceleraciones debido a las fuerzas de marea.

Aceptando el principio de equivalencia, en ausencia de fuerzas (no gravitatorias), la trayectoria que sigue un objeto es una recta en el sistema de referencia local de la caída libre. Al observarlo desde otro sistema de referencia, aparecen las aceleraciones del nuevo sistema de referencia, haciendo que la trayectoria sea una geodésica en un espaciotiempo curvo. La ecuación de movimiento descrita por este observador sería \[\frac{d^2 x^\alpha}{d \tau^2} = - \Gamma^\alpha_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x^\nu}{d \tau}\]

Relativizando a Newton

Resulta esclarecedor comparar la ecuación geodésica con la trayectoria que sigue una partícula en la gravitación newtoniana: \[\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = -\vec{\nabla}\Phi\]

La conexión \(\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\) hace un papel similar al gradiente (derivadas) del potencial gravitatorio \(\Phi\). Y como la conexión incluye las derivadas de la métrica \(g_{\mu\nu}\), se podría decir, con muchas comillas, que "en relatividad general la métrica es el análogo al potencial gravitatorio newtoniano".

Ahora Einstein solo necesitaba encontrar una ecuación que describiera cuál debía ser la métrica. El equivalente en la gravedad newtoniana es la ecuación de Poisson: \[ \nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho\ \]

La densidad de masa \(\rho\) determina el potencial gravitatorio \(\Phi\), que a su vez dicta la aceleración que siente un cuerpo en el campo gravitatorio.

El primer paso para hallar una versión relativista a esta ecuación es identificar una fuente adecuada. El objeto covariante que incluye la densidad de energía (que juega el papel de la densidad de masa) es el tensor de energía-momento \(T_{\mu\nu}\). Es un tensor de rango 2 (una matriz) que incluye la densidad de energía, la densidad de momento lineal y la tensión.

Siguiendo la pista de Poisson, el tensor de energía-momento debía ser proporcional a una combinación de derivadas segundas de la métrica. Este paso se le atragantó a Einstein durante ocho años. Necesitó la ayuda de su buen amigo y antiguo compañero de clase Marcel Grossmann, matemático experto en el entonces joven campo de la geometría no euclídea. Tras numerosos intentos, finalmente identificó la pieza restante como lo que se conocería como tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\), formado a partir del tensor de Ricci \(R_{\mu\nu}\) y el escalar de curvatura \(R\). Así, en 1915 formuló la ecuación de campo de Einstein: \[G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \]

Lecciones de la Relatividad General

• Cualquier sistema de coordenadas es válido, y las ecuaciones físicas deben estar formuladas en términos de invariantes (principio de covariancia general).
• Siempre es posible encontrar un sistema de coordenadas en el que la métrica, en un entorno local de un punto elegido, corresponda a un espaciotiempo plano (principio de equivalencia).
• En este sistema de coordenadas, un observador que no sufra fuerzas [no gravitatorias] describirá su movimiento como rectilíneo; otros observadores lo describirán como movimiento a lo largo de una geodésica.  
• La "fuerza gravitatoria" es una ilusión necesaria al emplear sistemas de coordenadas distintos al de caída libre.
• La curvatura es un invariante, por lo que en el sistema de coordenadas de caída libre (o en cualquier otro) el tensor de Riemann no se anula. Físicamente esto se manifiesta como fuerzas de marea.
• La conservación de energía y momento se debe a una propiedad geométrica de la métrica, la identidad de Bianchi.
• Citando a Wheeler: "El espaciotiempo le dice a la materia cómo moverse, la materia le dice al espaciotiempo cómo curvarse".

La Relatividad General bajo escrutinio

La gravitación newtoniana había estado vigente durante más de dos siglos sin casi ningún problema. Así que, ¿por qué una nueva teoría?¿aportaba algo nuevo?

La primera evidencia estaba en el casi: durante casi un siglo, la órbita de Mercurio (y en menor medida la de otros planetas) había causado ciertos quebraderos de cabeza a los astrónomos. La órbita describe un movimiento de precesión, que significa que no es una elipse perfecta sino que su semieje mayor va rotando a lo largo del tiempo. La precesión de Mercurio era mucho mayor que la prevista por la gravitación newtoniana (debido a la gravedad ejercida por otros planetas), pero coincidía con la predicha por la Relatividad General.

Foto de Eddington durante el eclipse

El otro gran triunfo se debió a la deflexión de la luz. La luz, igual que cualquier otro fenómeno, también está sujeta a la Relatividad General, y por lo tanto se moverá a lo largo de geodésicas (geodésicas nulas para ser más concretos). Es decir, que su trayectoria se alejará de la línea recta por efecto de la gravedad de otros cuerpos. Arthur Eddington organizó en 1919 una expedición para comprobarlo durante un eclipse. En el momento del eclipse serían visibles estrellas, cuya luz tendría que pasar cerca del Sol para llegar a la Tierra. Así se podría comparar su posición en el cielo con la que tienen por la noche, cuando su luz no pasa cerca del Sol, y medir el efecto que tiene sobre esta luz la gravedad del astro rey. La deflexión fue acorde a la predicha por Einstein, lo que supuso una espectacular confirmación a su teoría.

Espero haber dado una visión fidedigna pero comprensible de la Relatividad General. Y también espero que nadie se sienta decepcionado por no encontrar el típico dibujo del espaciotiempo como una sábana bidimensional deformado por una canica-planeta. Porque las analogías las carga el diablo.

Relatividad General sin analogías, xkcd 895

Para saber más

Albert Einstein: The Meaning of Relativity. Disponible en Project Gutemberg