domingo, 1 de noviembre de 2015

Teatro de variedades (riemannianas)

Aquí comienza la serie de entradas dedicadas a conmemorar el centenario de la teoría de la Relatividad General. Pero vamos a empezar la historia un poco antes...

Es una cálida tarde de verano, alrededor del 300 a.C. Has terminado tus compras en el mercado local o "ágora", y empiezas a leer el último bestseller: los Elementos, escrito por Euclides. Todo lo que siempre quisiste saber sobre geometría pero nunca te atreviste a preguntar. Todo a partir de solo cinco postulados:
  1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.
  2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. 
Todo parece muy lógico. Pero hay algo extraño en el último postulado, no acaba de encajar con los demás. Durante más de mil años intrigó a matemáticos de distintas culturas, que intentaron deducirlo del resto de postulados. Pero una y otra vez fallaban. La existencia de paralelas tenía que ser una suposición adicional, y era posible construir geometrías alternativas sin ella.

Gauss fue probablemente el mayor matemático de todos los tiempos. Uno de sus intereses fue las propiedades intrínsecas de las superficies (las que podría medir un planilandés que viviera en ella), lo que hoy llamamos geometría diferencial. Seguramente esto le llevaría a la idea de acabar con el quinto postulado. Pero Euclides era mucho Euclides, incluso para Gauss, así que no se atrevió a publicarlo. En su lugar "empleó" para tan revolucionaria misión a su alumno, Riemann. Así que la generalización de la geometría sin este postulado se conoce como geometría riemanniana.

Gauss (izquierda) y Riemann (derecha)

El objeto principal es la variedad riemanniana. Una variedad es básicamente la generalización de una curva o una superficie. Es un conjunto de puntos tales que las proximidades de cada punto se parecen a un espacio vectorial \(\mathbb{R}^N\). Los vectores que viven en ese espacio son vectores tangentes en dicho punto.
Si tenemos vectores, ya podemos empezar a medir distancias y ángulos. Para ello necesitamos tener un producto escalar. A veces (casi siempre) las coordenadas cartesianas serán un incordio para operar. Por ello, usaremos un producto escalar que no dependa de la elección de coordenadas, usando la métrica \(g\): \[\vec{v}\cdot\vec{w} = \sum_{ij} g_{ij}v^i w^j \equiv g_{ij}v^i w^j\]
La métrica en general dependerá de las coordenadas, con lo cual la medida de distancias y ángulos depende de la posición. Esto no debe sorprendernos: por ejemplo, la distancia entre dos meridianos es mayor en el Ecuador que en el Círculo Polar.
La longitud del segmento rojo es mayor que la del segmento verde, aunque la diferencia de coordenadas (esféricas) entre los extremos sea igual en ambos casos.

Todo esto funciona para las propiedades locales de la variedad, las que dependen de los vectores tangentes en un único punto. Ahora tenemos que preocuparnos por las propiedades globales, y para ello necesitaremos algo que conecte los espacios de vectores tangentes en puntos diferentes. En \(\mathbb{R}^N\) puede parecer muy sencillo, pero en una variedad general no lo es. Para ello hace falta un nuevo ingrediente: la conexión \(\Gamma\). En principio, hay libertad total para elegir esta conexión, aunque hay una en especial, la conexión de Levi-Civita, que es más natural ya que se construye a partir de la métrica.
Espacios tangentes (rojo) en dos puntos de una variedad (azul), relacionados mediante una conexión (curva rosa)

Ya podemos trasladarnos de un punto a otro de la variedad. Vamos a hacer un transporte paralelo: recorreremos una curva cerrada portando un vector, pero con cuidado de no girarlo en ningún momento. Si hacemos este ejercicio en un plano, nada extraño ocurre, y al volver al punto de origen el vector apunta en la misma dirección que al principio. ¿Y si lo hacemos en una esfera? Partamos de un punto sobre el Ecuador, con el vector señalando hacia el norte. Avanzamos en dirección norte por un meridiano hasta el polo. A continuación vamos en dirección sur por otro meridiano distinto hasta el Ecuador. Finalmente volvemos al punto de partida siguiendo el Ecuador ¿A que ahora el vector ha cambiado de dirección? Este efecto se llama curvatura.
Transporte paralelo en una esfera.
Volviendo al inicio de esta entrada, la curvatura también es responsable de la derogación del quinto postulado de Euclides. Una curva geodésica es la trayectoria que presenta la mínima distancia entre dos puntos. Si la variedad posee curvatura, dos geodésica próximas pueden acercarse o alejarse. Del mismo modo, en un triángulo formado por tres geodésicas la suma de los ángulos es distinta de 180° si hay curvatura.

Matemáticamente la curvatura se cuantifica mediante el tenor de Riemann \( {R^\mu}_{\nu\rho\sigma}\). También son útiles para describir la curvatura otras cantidades, calculadas a partir del tensor de Riemann: el tensor de Ricci \(R_{\mu\nu}\), el escalar de curvatura \(R\) y el tensor de Einstein \(G_{\mu\nu}\). Como muchos habréis adivinado, el tensor de Einstein jugará un papel fundamental en la Relatividad General.