lunes, 30 de noviembre de 2015

Hasta el infinito... y más acá

Hasta ahora nos habíamos preocupado, mirando las métricas y la curvatura, lo que ocurre en un espaciotiempo a escala local. Pero si miramos un poco más lejos veremos que aún pasan cosas interesantes.

Estructura causal

En la física newtoniana teníamos un tiempo universal. Esto permitía clasificar cualquier evento en pasado, presente o futuro de manera inequívoca.
La situación cambió radicalmente con la relatividad especial: el tiempo medido por un observador depende del sistema de referencia inercial que emplea, por lo que la noción de simultaneidad es relativa. Al existir una velocidad máxima, la velocidad de la luz, se reduce mucho el número de eventos que te pueden influir o a los que tú puedes influir: solamente aquéllos que quedan dentro del cono de luz. El resto están desconectados causalmente de ti. El cono de luz está definido según la velocidad de la luz, y por tanto cualquier observador dibujará el mismo cono de luz. Si empleamos unidades en las que \(c=1\), el cono de luz formará un ángulo de 45º con la dirección temporal.
La relatividad general complica las cosas más, pero solo un poco. Uno de sus pilares es el principio de equivalencia, que nos permite afirmar que cualquier espaciotiempo, localmente, se puede aproximar como una región plana (donde aplica la relatividad especial). Así que tendremos en cada punto del espaciotiempo un cono de luz válido solo para los alrededores:




Obviamente, esto nos da mucho más juego que la relatividad especial: podemos tener conos de luz dispuestos de tal manera que no permitan salir de una región del espaciotiempo (agujeros negros), conos de luz que forman un círculo (curvas temporales cerradas), y muchos otros fenómenos exóticos.

Diagramas de Penrose

En general, dibujar todos los conos de luz de todos los puntos es una tarea complicada, y el resultado no es demasiado informativo. Escogeremos una estrategia alternativa: La idea clave es recordar que la causalidad está determinada por la trayectoria de los rayos de luz.
El primer paso es escoger unas coordenadas adecuadas a nuestro propósito. La elección lógica son las coordenadas nulas (o del cono de luz), que siguen las geodésicas descritas por los rayos de luz. Es decir, tras el cambio de coordenadas, los rayos de luz siempre viajan en línea recta. Para ver más claros los conos de luz, representaremos estas rectas a 45º con la vertical.
Aún tenemos un problema: y es que el espaciotiempo es demasiado grande. Pueden ocurrir cosas interesntes en regiones lejanas, incluso en el infinito, y no queremos perdérnoslas. Para evitarlo haremos un cambio de coordenadas que nos traiga el infinito a una distancia finita. ¿Eso es posible?\[\textrm{arctan}(\pm\infty) = \pm\frac{\pi}{2}\]
Tan sencillo como eso. Por supuesto, hay que hacerlo con cuidado para no fastidiar lo que hemos conseguido en el primer paso (técnicamente, hay que hacer una transformación conformal, es decir, que respeta la estructura métrica).
Ya tenemos las coordenadas, por lo que podemos dibujarlas en forma de diagrama, lo que se conoce como diagrama de Penrose. En un diagrama de Penrose, las regiones conectadas causalmente se encuentran dentro de un cono con generatrices a 45º, independientemente de lo complicado que sea el espaciotiempo.

Vamos a ponernos manos a la obra, y a dibujar el diagrama de Penrose más sencillo: el de un espacio de Minkowski de dos dimensiones.\[ds^2 = -dt^2+dx^2\]
En este espacio los rayos de luz son muy sencillitos, \(x=\pm t\) (recuerda que usamos \(c=1\)). Así que las coordenadas nulas son
\[u = t-x\qquad v = t+x\]Claramente \(-\infty<u<\infty\) y \(-\infty<v<\infty\), por lo que tendremos que hacer el truco de la arcotangente para poder ver todo el espaciotiempo
\[\tilde{u} = \textrm{arctan}(u)\qquad \tilde{v}=\textrm{arctan}(v)\]
El diagrama de Penrose del espaciotiempo de Minkowski es un cuadrado con \(-\frac{\pi}{2} < \tilde{u} < \frac{\pi}{2}\), \(-\frac{\pi}{2} < \tilde{v} < \frac{\pi}{2}\):
Vemos que el diagrama de Penrose tiene "bordes", que se corresponden con los "infinitos" del espaciotiempo. Tenemos varios tipos de infinitos:
  • Infinito espacial \(i^0\): \(x=\pm\infty\), \(t\) finito. No se puede alcanzar.
  • Infinito pasado temporal \(i^-\): \(t=-\infty\), \(x\) finito. Cualquier trayectoria de una partícula proviene de este punto (o se puede extender desde este punto).
  • Infinito futuro temporal \(i^+\): \(t=+\infty\), \(x\) finito. Cualquier trayectoria de una partícula acaba en este punto (o se puede extender hasta este punto).
  • Infinito pasado nulo \(\mathfrak{I}^-\) (pronunciado scri menos): \(v=-\infty\) \(u\) finito o \(u=-\infty\) \(v\) finito: Todas las trayectorias de la luz empiezan aquí.
  • Infinito futuro nulo \(\mathfrak{I}^+\): \(v=+\infty\) \(u\) finito o \(u=+\infty\) \(v\) finito: Todas las trayectorias de la luz acaban aquí.
 Aunque no lo creáis, este es uno de los infinitos más simples que se pueden encontrar. De hecho, hay un gran interés teórico en espaciotiempos que tienen infinitos similares, lo que se conoce como espaciotiempos asintóticamente planos.

Otra cosa interesante del espaciotiempo de Minkowski que se puede apreciar en el diagrama es que posee hipersuperficies de Cauchy: si sabemos las propiedades de la materia en esta hipersuperficie en un instante del tiempo, podemos predecir lo que ocurrirá en el futuro en cualquier lugar. En particular, si consideramos todo el espacio en un instante y lanzamos rayos de luz, estos cubren todo el futuro. Cuando esto ocurre, el espacio se dice que es globalmente hiperbólico. Esto es algo muy deseable, ya que en los espacios globalmente hiperbólicos podemos hacer predicciones y la física es útil.

 Las singularidades y sus peligros


Puede pasar que el espaciotiempo se acabe bruscamente en algún sitio. Esto es una singularidad, y en los diagramas de Penrose lo representaremos con una línea ondulada. Cuando hay singularidades, pasan cosas malas, malas de verdad... Veamos un ejemplo:
Fijémonos en el infinito futuro nulo \(\mathfrak{I}^+\), el sitio al que llegan los rayos de luz que se propagan de manera indefinida. Si rebobinamos, vemos que hay una zona del espaciotiempo por la que no pasa ninguno de los rayos que acaban en \(\mathfrak{I}^+\), maracada en gris en el diagrama. Esto es lo que se conoce como agujero negro, y su frontera es el horizonte de sucesos. Cualquier trayectoria causal que llega al agujero negro nunca sale de él, y en particular no llega a \(\mathfrak{I}^+\).

Si damos la vuelta al diagrama, nos encontramos con una situación similar: ahora ninguno de los rayos que nacen en \(\mathfrak{I}^-\)pasa por la región sombreada, a la que llamaremos agujero blanco. No se puede entrar al agujero blanco desde el exterior, pero un objeto dentro del agujero blanco sí puede salir. Sin embargo, se pueden encontrar hipersuperficies de Cauchy con tal de esquivar la singularidad, por lo que el agujero negro no afecta a nuestra capacidad predictiva.
No se conoce ningún proceso físico que dé lugar a agujeros blancos.

Este diagrama de Penrose es particular: si nos fijamos en el pasado de \(\mathfrak{I}^+\), observaremos que no podemos encontrar en él ninguna hipersuperficie de Cauchy. Nos lo está impidiendo la singularidad. Eso significa que, en cualquier momento, "cualquier cosa" puede surgir de la singularidad, sin que podamos preverlo. Todo el poder predictivo de la física, al garete. Cuando esto ocurre, tenemos una singularidad desnuda.

La existencia de singularidades desnudas sería algo terrible. Penrose propuso la conjetura de censura cósmica. Según esta hipótesis, ningún proceso físico podría formar una singularidad desnuda estable (en palabras de Hawking, Dios aborrece las singularidades desnudas). Aunque prometedora, es posible que la conjetura sea falsa y estemos condenados a la impredictibilidad.