lunes, 23 de marzo de 2015

Emmy Nöther: simetrías y conservaciones

Hoy se conmemora el 133º aniversario del nacimiento de Emmy Nöther, matemática y física alemana. Sus contribuciones en matemáticas fueron incontables, especialmente en el ámbito del álgebra, que revolucionó completamente. En física desarrolló el teorema de Nöther, una potente herramienta que permite predecir las cantidades que se conservan en una teoría a partir de sus simetrías.

Emmy Nöther trabajaba en la Universidad de Göttingen, junto con uno de los mayores matemáticos del siglo pasado, David Hilbert (quien, junto con Felix Klein, invitó a Emmy a la universidad). Llegó allí hace un siglo, en 1915. Ese año fue bastante interesante, ya que Einstein publicó la teoría de la Relatividad General. El problema de construir una teoría de la gravitación consistente con la Relatividad Especial estaba abierto desde 1907. Hilbert se interesó mucho en el asunto, y trabajo mucho en él. De hecho, Hilbert y Einstein dedujeron las ecuaciones de campo a la vez (aunque por caminos diferentes, Einstein a partir del principio de equivalencia y de covariancia, y Hilbert con la formulación de una acción). Pero a Hilbert había una cosa de la nueva teoría que no le acababa por convencer: no veía claro que la energía se conservara.
Por suerte para él, tenía una compañera que era una experta a nivel mundial en la teoría de invariantes: Emmy. Hilbert le pidió ayuda con su problema con la relatividad general, y ella lo resolvió en general, para cualquier sistema físico. ¡Eso sí que es eficacia!

Su resultado: si una teoría física es invariante bajo una simetría continua, entonces existe una cantidad conservada o carga \(Q\) asociada a tal simetría. Pero no se queda ahí: también existen una densidad de carga \(\rho_Q\) y una corriente de carga \(\vec{j}_Q\) que cumplen una ecuación de continuidad \[\frac{\partial}{\partial t}\rho_Q = - \vec{\nabla}\cdot \vec{j}_Q\]
Esta ecuación significa que si coges una porción de volumen, la variación de la densidad de carga en él a lo largo del tiempo se debe a la carga que ha entrado/salido por su borde. Puede sonar a una perogrullada, pero es muy importante: es una condición mucho más fuerte que la simple conservación de la carga, es una conservación de la carga a nivel local. Las cargas pueden ser la energía y el momento para las traslaciones espaciotemporales, el momento angular para las rotaciones o carga eléctrica, isospín, hipercarga y compañía para las distintas transformaciones gauge. La Relatividad General, como no puede ser de otra forma, es invariante bajo translaciones espaciotemporales (no hay ningún punto del espacio o del tiempo privilegiados), así que la energía se conserva, para alivio de Hilbert.

Imagina que tienes una carga encerrada en una caja. De repente, desaparece y aparece en un punto remoto de la galaxia de Andrómeda. En todo momento la carga total se ha conservado. ¿Pero cómo serías capaz de comprobarlo, si no puedes medir la carga en Andrómeda? Y lo que es más grave, ¿estás seguro de que la carga se ha conservado? En un universo no-relativista la respuesta sería sí, pero no vivimos en ese universo. La simultaneidad de dos eventos (en este caso, la desparición de la carga en tu caja y la reaparición en Andrómeda) es relativa, depende de tu sistema de referencia. Si tú has visto  que la carga se ha mantenido constante, y yo me muevo respecto a ti, entonces yo habré visto o que por un instante faltaba la carga, o que estaba en dos lugares a la vez.

La única solución compatible con la relatividad especial es, por lo tanto, que la conservación de la carga se produzca a nivel local, en distancias infinitesimales donde no haya discrepancias en la noción de simultaneidad. Hoy es nuestro día de suerte, porque precisamente eso es lo que nos garantiza el teorema de Nöther.
No me digáis que no es bonito...
En resumen, ¡felicidades, Emmy!

Para saber más

Si quieres ver los escabrosos detalles matemáticos, no dudes ni un momento en consultar a Enrique F. Borja: Simetrías y cantidades conservadas: El teorema Nöther. Cuentos Cuánticos.
Richard P. Feynman: II-27: Field energy and field momentum. The Feynman lectures on Physics

Nota: Esta entrada participa en la LX edición del Carnaval de Física, albergado por ZTF News, dedicado a Mujeres en la Física.