martes, 21 de julio de 2015

Solución a la pregunta de la Ardilla de Oro 2015

El concurso de la Ardilla de Oro ya ha concluído, así que ya puedo contaros la respuesta a mi pregunta.

La ciudad de la pregunta era Königsberg, que era la capital de Prusia. En sus calles vivieron personajes de la talla de Kant, E. T. A. Hoffmann, Hilbert, Minkowski, Sommerfeld,... 

Durante la Segunda Guerra Mundial, la ciudad de Königsberg sufrió importantes bombardeos, primero soviéticos y en 1944 de la RAF. El centro de la ciudad fue practicamente destruido, incluyendo la catedral y el castillo. En los últimos compases de la guerra, los soviéticos sitiaron y finalmente capturaron la ciudad. Tras la guerra, en la conferencia de Potsdam, se acordó que la ciudad y la región circundante quedaran bajo control soviético, concretamente de la República Rusa. 

La ciudad fue reconstruída, y su nombre cambió a Kaliningrado. Tras la descomposición de la URSS, la región de Kaliningrado permaneció en Rusia. Sin embargo, está completamente rodeada por Polonia y Lituania, de modo que no existe una ruta por tierra que conecte Kaliningrado con el resto de Rusia. Esta situación se conoce como exclave en geografía, y como conjunto no conexo en topología.

Entre otras muchas razones, Königsberg es conocida por el problema de los siete puentes. Por la ciudad pasa el río Pregel (Pregolya), formando dos islas. En el siglo XVIII las distintas partes de la ciudad estaban unidas entre sí por siete puentes. La cuestión era si se podía dar un paseo en el que se cruzara cada uno de los puentes una sola vez. La fotografía en el post era de uno de estos puentes, el Holzbrück (puente de madera).
Leonard Euler propuso la solución en 1736, centrándose en las conexiones entre las distintas partes de la ciudad en vez de en las características geográficas (distancias, longitudes, ángulos,...). A continuación, Euler se dio cuenta de que en la región inicial y final debería de pasarse un número impar de veces, y en el resto de regiones un número par de veces. Como todas las regiones tenían un número impar de puentes, no era posible el camino buscado.
En el artículo en el que Euler propone su solución, hace una de las primeras referencias a lo que hoy se conoce como topología:
Además de la rama de la geometría que trata con distancias, y que siempre ha recibido toda la atención, hay otra rama, hasta ahora casi desconocida, a la que Leibnitz hizo la primera mención, llamándola geometría de la posición [geometriam situs]. Esta rama se ocupa únicamente de la determinación de la posición y sus propiedades; no involucra distancias ni cálculos hechos con ellas. 
 
La interpretación actual de la solución de Euler se hace en términos de grafos, en los que las regiones de la ciudad se representan con nodos y los puentes con vértices. Sin embargo, Euler no utilizó este tipo de herramientas, y el primer uso registrado sucedió a principios del siglo XIX (Poinsot, 1810).

Actualmente en la ciudad de Kaliningrado hay ocho puentes (de los cuales cinco sobreviven desde tiempos de Euler), y es posible realizar un trayecto que visite cada uno de los puentes una sola vez.


Aprovecho la ocasión para felicitar al vencedor del concurso, José Luis "Pepelu" Bueno López, a todos los concursantes, a los anfitriones por el gran nivel de las preguntas, y por supuesto a Borja González Seoane y su blog por organizar esta actividad.