Cien años de Hofstadter

Hoy, 5 de febrero de 2015, se cumple el centenario del nacimiento de Robert Hofstadter. Aunque su nombre no sea uno de los más conocidos entre los físicos del siglo XX, su contribución fue esencial en el desarrollo del modelo nuclear.

Los primeros indicios de la existencia de un núcleo atómico se deben al famoso experimento de Rutherford, llevado a cabo por Geiger y Marsden. Consistía en bombardear una lámina metálica con partículas alfa (núcleos de helio-4). El hecho de que algunas de las partículas sufrieran grandes ángulos de dispersión indicaba que estaban interaccionando con una distribución de carga positiva concentrada en una región muy pequeña del átomo.

Sin embargo, las partículas alfa no son los proyectiles ideales para sondear el interior del núcleo. En primer lugar, con la energía a la que se podían acelerar las partículas alfa, su longitud de onda de de Broglie era muy superior al tamaño del núcleo, por lo que no se podía entrar en su interior. Además, la interacción entre la partícula alfa y el núcleo se produce mediante la fuerza fuerte, cuyo mecanismo no se conocía, así que no se podían interpretar teóricamente los resultados de los experimentos de dispersión.

Robert Hofstadter solucionó ambos inconvenientes empleando electrones como proyectiles. Al ser mucho más ligeros que las partículas alfa, se necesita menos energía para acelerarlos a la misma velocidad (y realizó el experimento 40 años después que Rutherford, con lo cual los medios experimentales eran más avanzados). Y como los electrones solo pueden interaccionar electromagnéticamente con los núcleos, los resultados hablaban por sí solos.

En un proceso de dispersión, la probabilidad de transición entre el estado inicial y el final esta dado por la regla de oro de Fermi:\[P\propto|\langle \psi_f |H_{em} |\psi_i\rangle|^2=|H_{if}|^2\]en donde \(H_{em}\) es el hamiltoniano correspondiente al electromagnetismo, que es proporcional a las densidad de carga \(\rho\). Las partículas antes y después de la dispersión se suponen libres, por lo que su función de ondas será una onda plana. Así pues, la amplitud de probabilidad de transición resulta: \[H_{if}\propto \int e^{i(\vec{k}-\vec{k}')\cdot\vec{r}} \rho(r) dr\] Esto no es más que la transformada de Fourier de la densidad de carga. Utilizando la transformada discreta, y suponiendo que el núcleo tiene simetría esférica (aunque normalmente esto no es cierto, puede ser una buena aproximación), se puede reconstruir la distribución de carga.

Hofstadter realizó el experimento con diversos materiales, empezando con el oro. Lo que encontró es que en el interior de los núcleos, la densidad de carga se mantiene constante hasta llegar a una distancia \(R\), que es el radio del núcleo. En el entorno del borde del núcleo, la densidad de carga empieza a disminuir rápidamente. Esta zona, con una anchura \(a\), se conoce como superficie. La densidad, una vez fuera de la superficie, tiene asintóticamente hacia cero, aunque no hay un límite definido del núcleo.

Comparando diferentes elementos, Hofstadter encontró que la anchura de la superficie es independiente del núcleo, y mide 0.5 fm [el fm es un femtómetro, es decir, 10^-15 m. Hofstadter rebautizó esta unidad como "fermi" en honor del gran físico italiano, y ese nombre es muy frecuente en el ámbito de la física nuclear]. Por otra parte, el volumen de los núcleos era directamente proporcional al número de nucleones. Este resultado fue bastante sorprendente: al aumentar el número de nucleones, la atracción entre estos debería aumentar, con el efecto de contraer el núcleo. Sin embargo, los nucleones parecían incompresibles (que no incomprensibles): la razón es que la fuerza fuerte tiene muy poco alcance, y cada nucleón solo siente a sus vecinos más próximos, del mismo modo que en un líquido las moléculas solo sienten a sus vecinas. Esto dio lugar a que Gamow y Weiszäcker elaboraran el modelo de la gota líquida del núcleo, que permite computar su masa, y en consecuencia predecir qué tipo de reacción radiactiva puede sufrir.

Hofstadter recibió el premio Nobel en 1961 por estos experimentos. Aunque quizá el reconocimiento por el que es más recordado es porque los guionistas de la serie The big bang theory bautizaron a uno de sus protagonistas, Leonard Hofstadter, en su honor.