sábado, 30 de mayo de 2015

Transiciones en la tercera fase

Una transición de fase es un cambio brusco de alguna de las propiedades físicas de un objeto. Las más cotidianas son los cambios de estado: por ejemplo, en la transición entre líquido y gas se produce un cambio brusco en la densidad. Pero las transiciones de fase son algo más general, el concepto de "tres estados" de la materia es una gran simplificación. Además de los tradicionales, tenemos estados de plasma, plasma de quark-gluones, ferroeléctrico, ferromagnético, superconductor, superfluído y diferentes estructuras cristalinas, por citar solo unos cuantos.
Muchas de las transiciones de fase se pueden entender como transiciones orden-desorden. La termodinámica nos dice que, en condiciones de temperatura y volumen constantes, el equilibrio se consigue cuando se minimiza la energía libre (de Helmholtz):\[F = U - TS \]En el cero absoluto, minimizar la energía libre es lo mismo que minimizar la energía \(U\). El estado de mínima energía suele poseer la simetría más restrictiva permitida y ser único, por lo que no tiene entropía. Si por el contrario nos encntramos a temperaturas muy elevadas, el término dominante es \(-TS\), y el estado de equilibrio será el que posea mayor entropía, el más desordenado. A una cierta temperatura intermedia, el sistema tendrá que saltar del estado ordenado al desordenado, produciéndose una transición de fase.


Una visión bastante simple de lo que ocurre en una transición de fase se la debemos a Lev Landau. En primer lugar nos propone encontrar un parámetro de orden, una magnitud física que nos permita discernir claramente entre las dos fases, ya que será 0 en una de ellas y distinto de 0 en la otra. En el ejemplo de la transición líquido-gas, este parámetro estaría relacionado con la densidad. En una transición paramagnético-ferromagnético, el parámetro de orden es la magnetización \(M\) en ausencia de campo.
A continuación debemos expresar la energía libre en función del parámetro de orden \(F(M)\), y desarrollar en serie de potencias de \(M\). En la mayoría de los casos de interés se cumple que \(F(-M) = F(M)\) por motivos de simetría, por lo que solamente nos quedarán términos con potencias pares:
\[F(M, T) = F_0 + \frac{1}{2}g_2 M^2+\frac{1}{4}g_4M^4 + \frac{1}{6}g_6M^6 + ...\] 
La condición para que la energía libre tenga un extremo
\[\frac{\partial F}{\partial M} = g_2 M + g_4M^3 + g_6M^5 + ... = 0\]
Hay que tener en cuenta que, como \(F\) es una función de la temperatura, los coeficientes \(g\) también dependerán de la temperatura. En concreto, la principal dependencia está en el primer coeficiente, que podemos aproximar como lineal con la temperatura \[g_2 = \gamma (T-T_0)\]
El signo de \(g_4\) determina el tipo de transición que se produce:

Transiciones de segundo orden

En estas transiciones, \(g_4 >0\). A temperaturas altas solo hay un mínimo de energía libre, correspondiente a \(M=0\). Al pasar la transición, este mínimo se hace inestable (se convierte en un máximo), y aparecen dos mínimos en \(M = \pm M_S\), que corresponden a la magnetización espontánea. En todo momento la magnetización cambia de forma continua.


Para verlo en la teoría de Landau, se puede truncar el desarrollo de la energía libre en el término con \(M^4\). Entonces los extremos de la energía libre se encuentran en \[\gamma(T-T_0)M + |g_4|M^3 =0\]Siempre hay un extremo en \(M=0\). Las otras soluciones solo existen si \(T < T_0\) y son \[M_S = \pm \sqrt{\frac{\gamma(T_0 - T)}{|g_4|}}\]Para comprobar si los extremos son máximos o mínimos, comprobamos el signo de la segunda derivada:\[\left.\frac{\partial^2 F}{\partial M^2}\right|_{M=0} = \gamma (T-T_0)+3|g_4| M^2 = \gamma (T-T_0) \qquad \to \qquad \text{Mínimo si }T> T_0\]\[\left.\frac{\partial^2 F}{\partial M^2}\right|_{M=\pm M_S} = \gamma (T-T_0)+3|g_4| M^2 = 2\gamma (T_0-T) \qquad \to \qquad \text{Mínimo si }T< T_0\]
Además, en \(T=T_0\), se cumple que \(M_S = 0\), por lo que la magnetización cambia de manera continua.

Transiciones de primer orden

Ahora \(g_4 <0\). En este caso hay un rango de temperaturas en los que existen tres mínimos de energía libre, uno de ellos con \(M=0\) y los otros dos con magnetización espontánea. El estado estable es el que tenga menor energía. Aun así, el sistema puede permanecer cierto tiempo (dependiendo de la altura de la barrera de potencial) en el mínimo con mayor energía libre (estado metaestable), lo que puede producir fenómenos de histéresis. La transición se produce cuando la magnetización espontánea pasa de ser metaestable a estable.
En la teoría de Landau, en este caso hay que mantener hasta el término con \(M^6\) con \(g_6 > 0\) (de este modo, se evita que el mínimo de energía libre se produzca para magnetización infinita).

Ahora los mínimos de energía libre se encuentran en \(M=0\) y en \[M_S = \pm \sqrt{\frac{|g_4| + \sqrt{g_4^2 - 4 g_6 \gamma (T-T_0)}}{2 g_6}}\]La transición se produce en \[T_c = T_0 + \frac{3}{16}\frac{g_4^2}{\gamma g_6}\]En la temperatura \(T_0\) la solución \(M=0\) deja de ser estable, y las soluciones con magnetización espontánea  desaparecen en \[T_S = T_0 + \frac{1}{4}\frac{g_4^2}{\gamma g_6}\]
Magnetización en función de la temperatura. La línea continua representa el estado estable, y la discontinua el estado metaestable.